Merkelig integral

[Nebuchadnezzar]

Er integralet under definert? Det er et uegentlig integral, men alle programmene mine sier at svaret inneholder komplekse tall. Mens boka sier at det har et reelt svar

[tex]I = \int_0^3 \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} dx[/tex]

[Janhaa]

Onkel Wolfram sier reelt tall

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... rom+0+to+3

[svinepels]

Er ikke denne omskrivingen gyldig?

[tex]\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} = \frac{1}{\left((x-1)^2\right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = (x-1)^{-\frac{2}{3}}[/tex]

Integrerer vi dette med de samme grensene gir Wolfram et svar med komplekse tall.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... rom+0+to+3

[Charlatan]

(Flyttet)

Det er jo en reell integrand, så da er integralet (om det eksisterer) reellt.

[wingeer]

(Flyttet)

Det er jo en reell integrand, så da er integralet (om det eksisterer) reellt.

Ikke meningen å kapre, men har du bevis for dette? Har dette med "measure" (mål?) å gjøre?

[Gustav]

Er ikke denne omskrivingen gyldig?

[tex]\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} = \frac{1}{\left((x-1)^2\right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = (x-1)^{-\frac{2}{3}}[/tex]

Integrerer vi dette med de samme grensene gir Wolfram et svar med komplekse tall.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... rom+0+to+3

"Problemet" med denne omskrivningen er at f.eks. wolfram alpha tolker

[tex](-1)^{\frac{2}{3}}[/tex] som et komplekst tall, mens uttrykket [tex]((-1)^2)^{\frac13}[/tex] tolkes som et reellt. Derfor får du plutselig et komplekst integral.

[Charlatan]

(Flyttet)

Det er jo en reell integrand, så da er integralet (om det eksisterer) reellt.

Ikke meningen å kapre, men har du bevis for dette? Har dette med "measure" (mål?) å gjøre?

Det er jo i og for seg ganske åpenbart hvis man ser på definisjonen av et riemann-integral. Hvis integralet eksisterer, er det supremum av en sum av f(s_i)(x_i+x_(i+1)) for en partisjon {x_0,...,x_n} av intervallet [a,b] der s_i ligger mellom x_i og x_(i+1) det integreres over. Enhver slik sum er reell, så supremum av dette er reellt. Uegentlige (improper) integraler er definert som en grense av riemann-integraler, og er dermed reelle.