lim(sup) bevis

[krje1980]

Hei.

Jeg er litt usikker på om jeg har løst følgende oppgave riktig. Setter derfor veldig stor pris på innspill/kommentarer.

Oppgave: For any two real sequences [tex]\{a_n\}, \{b_n\}[/tex], prove that

[tex]\lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n) \leq \lim_{n \to \infty} sup(a_n) + \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex]

provided the sum on the right is not on the form [tex]\infty - \infty[/tex].


Ok. Min løsning (på engelsk):

Consider a sequence [tex]\{n_k\}[/tex] of positive integers, such that [tex]n_1 < n_2 < n_3 < . . .[/tex]. For [tex](a_n + b_n)[/tex] there must exist a subsequence, [tex](a_n_i + b_n_i)[/tex] such that [tex]\lim_{n \to \infty}(a_n_i + b_n_i) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n)[/tex]

However, it is not certain that [tex]\lim_{n \to \infty} (a_n_i)[/tex] as defined above is an upper limit for [tex]\{a_n\}[/tex] or that [tex]\lim_{n \to \infty} (b_n_i)[/tex] is an upper limit for [tex]\{b_n\}[/tex]. Thus we may define [tex]\lim_{n \to \infty} (a_n_i) \leq \lim_{n \to \infty}(a_n_j) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n)[/tex] and we may define [tex]\lim_{n \to \infty} (b_n_i) \leq \lim_{n \to \infty} (b_n_j) = \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex].

This gives us:

[tex]\lim_{n \to \infty}(a_n_i + b_n_i) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n) \leq \lim_{n \to \infty}(a_n_j) + \lim_{n \to \infty}(b_n_j) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n) + \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex].

And the desired inequality:

[tex]\lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n) \leq \lim_{n \to \infty} sup(a_n) + \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex]

follows.

Setter som sagt stor pris på kommentarer/rettelser.

[krje1980]

Noen som vet?

[wingeer]

Jeg synes det ser rigorøst ut. Men ikke ta det med for stor slagkraft. Jeg har nettopp begynt med limsup og slikt selv.

[krje1980]

Takk for kommentaren!

Fint at det ser bra ut. Må innrømme at det er utrolig herlig å jobbe med rekker og følger igjen, som jeg er ganske kjent med, etter å ha slitt voldsomt med topologi i det foregående kapittelet.

[wingeer]

Hvordan emne er det du jobber med?
Jeg tar et emne nå hvor jeg hadde akkurat samme problemet som deg med topologi. Hehe.

[krje1980]

Jeg tar MAT211 - Reell Analyse, ved UiB. Pensum er Rudins "Principles of Mathematical Analysis". Regner med du tar noe lignende ved NTNU?

[Gustav]

Vi har jo at [tex]\sup_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq \sup_{k\geq n}(a_k)+\sup_{k\geq n}(b_k)[/tex] for alle n, så tar vi grensene fås

[tex]\lim_{n\to\infty} \sup_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq \lim_{n\to\infty} ( \sup_{k\geq n}(a_k)+\sup_{k\geq n}(b_k))[/tex]

Vi vet jo også at supremumsgrensa for følger på den utvidede reelle tallinja alltid konvergerer, så

[tex] \lim_{n\to\infty} ( \sup_{k\geq k}(a_k)+\sup_{k\geq n}(b_k))=\lim_{n\to\infty} \sup_{k\geq k}(a_k)+\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geq n}(b_k)[/tex]

burde holde sålenge uttrykket til høyre ikke er på formen [tex](\pm) \infty +(\mp)\infty[/tex]

[krje1980]

Takk for input, plutarco. Dette er jo også en logisk måte å se på problemstillingen

[wingeer]

Ja, jeg tar "Analysens grunnlag". Hvordan er Rudins bok?

[krje1980]

Rudins bok er krevende, men "rewarding". Når man først klarer å se lyset setter man pris på at boken er to-the-point og forklarer ting rett frem uten unødvendige distraksjoner. Men oppgavene er ofte veldig vanskelig, og uten fasit kan det i blant være litt frustrerende.

[wingeer]

Takk. Jeg lurer nemlig på å kjøpe den selv, ettersom det er en litt sprikende litteraturliste i dette faget. Så er det jo også fint med flere kilder.