Integral - omdreiningslegeme

[Razzy]

En kurve har ligningen [tex]$y = {e^{ - {x^2}}}$[/tex] La F være flaten avgrenset av kurven og linjene [tex]$x = 1{\rm{ og }}y = 1.$[/tex]

Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når F roterer [tex]${360^ \circ }$[/tex] om y-aksen.

Løsningsforslag:



Kan jo ikke integrere ln y...



Har jeg tenkt riktig angående radiusen til å begynne med og grensene mine? Funksjonen skal deies om y-aksen.

[Nebuchadnezzar]

Sikker på du har skrevet oppgaven av rett?

[Razzy]

Sikker på du har skrevet oppgaven av rett?

Ja, har trippeltsjekket. Vi gjennomgitt "skivemetoden" og "skallmetoden" på skolen idag, og slik jeg hat forstått det, slipper jeg å ha to forskjellige integraler ved bruk av skivemetoden. (skallmetoden har jo utgangspunkt i vertikal-liggende skiver av arealet, og da får må man dele det i to; den ene delen fra kryssningspunktet mellom grafen og x=1 og den andre under)

Forståelig? hehe, kan slenge ut enda en tegning på hvordan jeg har tenkt.

[Nebuchadnezzar]

Litt av problemet slik jeg ser det, er at jeg har lært at arealet under funksjonen[tex]f(x)=e^{-x^2}[/tex] ofte blir betegnet som error funksjonen, og brukt i normalfordelng av gausskurver, for eksemplel normalfordeling av IQ.

http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Uansett den har ikke en definert antiderivert. Litt av feilen du gjør er at fu antar at

[tex]y = e^{-x^2}[/tex]

har en invers, men bare funksjoner som er 1 til 1 har en invers. (Hver y verdi tilhører en og kun en x-verdi) Vi kan også si at bare funksjoner som er enten monotont synkende, eller monotont stigende kan ha en invers

Og dette gjelder ikke for funksjonen din.

En invers er selvfølgelig der du bytter om x og y. Slik at du for eksempel får x = 3y^3

Problemet er at når du kommer til

[tex]x^2 = - \ln y[/tex]

Så har denne to løsninger, mens du skrev bare opp den ene.

Mest sannsynlig mener oppgaven

[tex]y = e^{\frac{x}{2}}[/tex]

Eller noe i den duren

[Razzy]

Litt av problemet slik jeg ser det, er at jeg har lært at arealet under funksjonen[tex]f(x)=e^{-x^2}[/tex] ofte blir betegnet som error funksjonen, og brukt i normalfordelng av gausskurver, for eksemplel normalfordeling av IQ.

http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Uansett den har ikke en definert antiderivert. Litt av feilen du gjør er at fu antar at

[tex]y = e^{-x^2}[/tex]

har en invers, men bare funksjoner som er 1 til 1 har en invers. (Hver y verdi tilhører en og kun en x-verdi) Vi kan også si at bare funksjoner som er enten monotont synkende, eller monotont stigende kan ha en invers

Og dette gjelder ikke for funksjonen din.

En invers er selvfølgelig der du bytter om x og y. Slik at du for eksempel får x = 3y^3

Problemet er at når du kommer til

[tex]x^2 = - \ln y[/tex]

Så har denne to løsninger, mens du skrev bare opp den ene.

Mest sannsynlig mener oppgaven

[tex]y = e^{\frac{x}{2}}[/tex]

Eller noe i den duren

Tusen takk for utfyllende svar - jeg skal marse rett ned på kontoret å høre hva i alle dager detter for en oppgave! hehe neida.

Mente du at oppgaven ikke lar seg løse med den informasjonen jeg har gitt?

[Janhaa]

trur d blir sånn:

[tex]V_y=2\pi \int_0^1 xy\,dx[/tex]

[tex]V_y=2\pi \int_0^1 xe^{-x^2}\,dx[/tex]

osv...

[Gommle]

Men den er jo en-til-en i intervallet, og det er mulig å integrere den inverse.

Jeg tror oppgaven er helt fin jeg.

[Razzy]

trur d blir sånn:

[tex]V_y=2\pi \int_0^1 xy\,dx[/tex]

[tex]V_y=2\pi \int_0^1 xe^{-x^2}\,dx[/tex]

osv...

Jeg liker hva du skriver. Kunne du slengt med en hvorfor du ender opp med disse formlene også?

Jeg fant det jeg fant ved å tenke en "skive" av grafen, også ender jeg opp med en smultring som jeg må trekke fra sirkelen i midten.

Hvorfor har du 2pi? Aner en forenkling i forhold til våre metoder (læreren liker å fortelle oss at "dere skal jo bli ingeniører, dere må vite hvordan ting henger sammen". Sant det da.

[Nebuchadnezzar]

Godt mulig jeg har blingsa, tenkte på omdreiningslegemet rundt x-aksen jeg.

[Razzy]

Godt mulig jeg har blingsa, tenkte på omdreiningslegemet rundt x-aksen jeg.

Legg merke til at du blingsa, du regner aldri feil du...

[Janhaa]

trur d blir sånn:
[tex]V_y=2\pi \int_0^1 xy\,dx[/tex]
[tex]V_y=2\pi \int_0^1 xe^{-x^2}\,dx[/tex]
osv...

Jeg liker hva du skriver. Kunne du slengt med en hvorfor du ender opp med disse formlene også?
Jeg fant det jeg fant ved å tenke en "skive" av grafen, også ender jeg opp med en smultring som jeg må trekke fra sirkelen i midten.
Hvorfor har du 2pi? Aner en forenkling i forhold til våre metoder (læreren liker å fortelle oss at "dere skal jo bli ingeniører, dere må vite hvordan ting henger sammen". Sant det da.

jeg har ikke tid til disse lange utredningene som Nebu og Viktor Vektor (LUR-gutta).
dette er sylindermetoden (tenk sylinder og les i boka di:
[tex]V_y=2\pi \int_a^b xy\,dx[/tex]

og dette er skivemetoden (areal av sirkel osv...les i boka di):
[tex]V_y=\pi \int_a^b x^2\,dy[/tex]

[mstud]

Hvis du vil vite mer enn i boken:

http://www.google.no/search?sclient=psy ... G=S%C3%B8k

Les f.eks.:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... inder.aspx

http://www.vias.org/calculus/06_applica ... 02_06.html

http://www.prof-desk.com/materials/cyli ... uation-686

http://www.youtube.com/watch?v=lBpc7lCT3uQ

http://www.youtube.com/watch?v=WDEhTXuIpJI


Og her er forklaringen :

http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma030.pdf
Så skjønner du hvorfor Janhaa ikke tok seg tid til å forklare

[Razzy]

Hvis du vil vite mer enn i boken:

http://www.google.no/search?sclient=psy ... G=S%C3%B8k

Les f.eks.:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... inder.aspx

http://www.vias.org/calculus/06_applica ... 02_06.html

http://www.prof-desk.com/materials/cyli ... uation-686

http://www.youtube.com/watch?v=lBpc7lCT3uQ

http://www.youtube.com/watch?v=WDEhTXuIpJI


Og her er forklaringen :

http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma030.pdf
Så skjønner du hvorfor Janhaa ikke tok seg tid til å forklare

Hei mstud!! Perfekt! Da fortjener du et løsningsforslag også

[tex]$$dV = 2\pi xy\;dx$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \int_0^1 {x{e^{ - {x^2}}}} \;dx$$[/tex]

[tex]$$u = - {x^2} \Rightarrow u^\prime = {{du} \over {dx}} = - 2x \Rightarrow dx = {{du} \over { - 2x}}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \int_0^1 {x{e^u}} \;{{du} \over { - 2x}}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi {1 \over { - 2}}\int_0^1 {{e^u}\;du} $$[/tex]

[tex]$$V = - \pi \left[ {{e^{ - {x^2}}}} \right]_0^1 = - \pi \left( {{e^{ - {{\left( 1 \right)}^2}}} - \left( {{e^{ - {{\left( 0 \right)}^2}}}} \right)} \right) = - \pi \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {V = \pi - {\pi \over {{e^1}}} \approx 1.98}} $$[/tex]

Er det ikke nydelig??

Edit: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2p ... rom+0+to+1 (kopier hele linken)

Liker å legge ut løsningsforslag, det kan jo være endel som går inn her og har like mye bruk for dette som det jeg har! Så hjertelig takk folkens.

[mstud]

Hvis du vil vite mer enn i boken:

http://www.google.no/search?sclient=psy ... G=S%C3%B8k

Les f.eks.:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... inder.aspx

http://www.vias.org/calculus/06_applica ... 02_06.html

http://www.prof-desk.com/materials/cyli ... uation-686

http://www.youtube.com/watch?v=lBpc7lCT3uQ

http://www.youtube.com/watch?v=WDEhTXuIpJI


Og her er forklaringen :

http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma030.pdf
Så skjønner du hvorfor Janhaa ikke tok seg tid til å forklare

Hei mstud!! Perfekt! Da fortjener du et løsningsforslag også

[tex]$$dV = 2\pi xy\;dx$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \int_0^1 {x{e^{ - {x^2}}}} \;dx$$[/tex]

[tex]$$u = - {x^2} \Rightarrow u^\prime = {{du} \over {dx}} = - 2x \Rightarrow dx = {{du} \over { - 2x}}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \int_0^1 {x{e^u}} \;{{du} \over { - 2x}}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi {1 \over { - 2}}\int_0^1 {{e^u}\;du} $$[/tex]

[tex]$$V = - \pi \left[ {{e^{ - {x^2}}}} \right]_0^1 = - \pi \left( {{e^{ - {{\left( 1 \right)}^2}}} - \left( {{e^{ - {{\left( 0 \right)}^2}}}} \right)} \right) = - \pi \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {V = \pi - {\pi \over {{e^1}}} \approx 1.98}} $$[/tex]

Er det ikke nydelig??

Edit: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2p ... rom+0+to+1 (kopier hele linken)

Liker å legge ut løsningsforslag, det kan jo være endel som går inn her og har like mye bruk for dette som det jeg har! Så hjertelig takk folkens.

Fortjener jeg løsningsforslag

Jo, nydelig,

Helt enig i at det er fint med løsningsforslag, veldig irriterende å søke opp forumposter hvor noen har fått hjelp med samme oppgave som du lurer på, siste post er at de har skjønt det, og du sitter igjen og tenker hvordan skjønte de det... Jeg ser det ikke helt allikevel....

Fint arbeid det der, liker at du vil sette deg inn i løsningsmetoden og ikke bare få vite: Hvordan løser jeg akkurat denne oppgaven...

[Razzy]

En kurve har ligningen [tex]$y = {e^{ - {x^2}}}$[/tex] La F være flaten avgrenset av kurven og linjene [tex]$x = 1{\rm{ og }}y = 1.$[/tex]
Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når F roterer [tex]${360^ \circ }$[/tex] om y-aksen.

Legg merke til at det står Y=1 her, bare for å få det bekreftet - grensene min skal være fra 0 til 1?

[tex]$$dV = 2\pi xy\;dx$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \int_0^1 {x{e^{ - {x^2}}}} \;dx$$[/tex]

[tex]$$u = - {x^2} \Rightarrow u^\prime = {{du} \over {dx}} = - 2x \Rightarrow dx = {{du} \over { - 2x}}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \int_0^1 {x{e^u}} \;{{du} \over { - 2x}}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi {1 \over { - 2}}\int_0^1 {{e^u}\;du} $$[/tex]

[tex]$$V = - \pi \left[ {{e^{ - {x^2}}}} \right]_0^1 = - \pi \left( {{e^{ - {{\left( 1 \right)}^2}}} - \left( {{e^{ - {{\left( 0 \right)}^2}}}} \right)} \right) = - \pi \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {V = \pi - {\pi \over {{e^1}}} \approx 1.98}} $$[/tex]

Er det ikke nydelig??

Dette mener jeg hvertfall på - det var en i klassen som ikke gjorde det. Dere er enige med meg ikke sant?

Edit: Vent nå litt; arealer jeg vil ha ligger mellom grafen og disse linjene? Da har jeg tegnet feil på figuren - nå ble jeg usikker.