Komplementære hendelser?

[foozle]

Oppgave:
En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter. Vi trekker ut 3 elever.
Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst en jente?

Mitt svar:
Jeg brukte komplementære hendelser, siden det er sann om minst en jente.

A = {1,2,3,4}
"Ikke A" = {1,2,3,4}

P(A) + P(Ikke A) = 1
P(A) = 1 - P(Ikke A)

P(A) = 1- 0,25 (én fjerdedel) = 0,75 = 75%

Er det riktig, eller er det ikke riktig?

[Janhaa]

hva med dette?

[tex]\Large P=\frac{{4\choose 1}{4\choose 2}}{{8\choose 3}}\,+\,\frac{{4\choose 2}{4\choose 1}}{{8\choose 3}}\,+\,\frac{{4\choose 3}{4\choose 0}}{{8\choose 3}}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Janhaa, hva med

[tex]1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}[/tex]

Første gutt, andre gutt, tredjegutt.

EDIT: Dog tror jeg det janhaa skriver blir rett.

[gt]

Jeg ville nok gjort som foozle, tenkt på komplimentære hendelser, det gir litt mindre utregninger.

Altså:
P(minst en jente)=1-P(bare gutter)

For å finne P(bare gutter)=P(GGG) må man bruke binominalkoeffisienten, på samme måte som Janhaa beskriver.

[gt]

Janhaa, hva med

[tex]1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}[/tex]

Første gutt, andre gutt, tredjegutt.

EDIT: Dog tror jeg det janhaa skriver blir rett.

Her tenker du trekking med tilbakelegging, i dette tilfellet må man vel ha uten tilbakelegging, og må derfor bruke binominalkoeffisienten.

[gt]

Det motsatte av minst en jente er bare gutter. Altså 3G.

Bruker binominalkoeffisienten siden vi har uordnet utvalg uten tilbakelegging, for å finne hvor mange måter man kan trekke ut 3 av 4 gutter.

[tex]\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array} \right) = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]

[tex]\left( \begin{array}{c}4 \\ 3 \end{array} \right) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4[/tex]

Gjør det samme for å finne ut hvor mange måter man kan trekke ut 3 av 8.

[tex]\left( \begin{array}{c}8 \\ 3 \end{array} \right) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56[/tex]

Finner så sannsynligheten for bare å trekke ut gutter:

[tex]P(GGG)=\frac{antall gunstige}{antall mulige}=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}[/tex]

Finner sannsynligheten for minst en jente:

[tex]P(minst en J)=1-P(GGG)=1-\frac{1}{14}=\frac{13}{14}[/tex]

Dette burde forsåvidt bli det samme som Janhaa skrev, men med litt mindre regning (ihvertfall hvis man skal regne på papiret..).

[Janhaa]

Det motsatte av minst en jente er bare gutter. Altså 3G.
Gjør det samme for å finne ut hvor mange måter man kan trekke ut 3 av 8.
[tex]\left( \begin{array}{c}8 \\ 3 \end{array} \right) = \frac{8!}{3!(8-3)! = 56}[/tex]
Finner så sannsynligheten for bare å trekke ut gutter:
[tex]P(GGG)=\frac{antall gunstige}{antall mulige}=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}[/tex]
Finner sannsynligheten for minst en jente:
[tex]P(minst en J)=1-P(GGG)=1-\frac{1}{14}=\frac{13}{14}[/tex]
Dette burde forsåvidt bli det samme som Janhaa skrev, men med litt mindre regning (ihvertfall hvis man skal regne på papiret..).

enig, samme svar. og ikke minst enklere...

[foozle]

Takk så mye! Ser jeg har fått opp forskjellige svar her, og det setter jeg pris på. Detter en en eksamensoppgave som ble gitt på del 1 i matematikk S1, dvs uten hjelpemidler. Det blir derfor best å bruke metoden med minst regning. Takk!