Diff.lign

[Razzy]

A)

[tex]$$y^{\prime \prime }- 6y = 0$$[/tex]


Karakteristisk lign:

[tex]$$\lambda ^{\prime \prime } - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt 6 $$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = {C_1}{e^{6x}} + {C_2}{e^{ - 6x}}}} $$[/tex]


[tex]$$y\left( 0 \right) = {C_1}{e^{6 \cdot 0}} + {C_2}{e^{ - 6 \cdot 0}} = 3$$[/tex]

[tex]$$1.\;{C_1} + {C_2} = 3$$[/tex]

Ligning 1.

[tex]$$y^\prime \left( x \right) = 6{C_1}{e^{6x}} - 6{C_2}{e^{ - 6x}}$$[/tex]

[tex]$$y^\prime \left( 0 \right) = 6{C_1}{e^{6x}} - 6{C_2}{e^{ - 6x}} = 0$$[/tex]

[tex]$$2.\;{C_2} - {C_1} = 0$$[/tex]

Ligning 2.

[tex]$$1 + 2$$[/tex]

Vi løser bruker addisjonsmetoden og løser lign-settet.

[tex]$$2{C_2} = 4 \Rightarrow {C_2} = 2$$[/tex]

[tex]$${C_1} + 2 = 3 \Rightarrow {C_1} = 1$$[/tex]

Spesiell lign blir:

[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = 1 \cdot {e^{6x}} + 2 \cdot {e^{ - 6x}}}} $$[/tex]


Fasit:



Syntes fasiten så veldig merkelig ut...

[wingeer]

Du har et par slurvefeil her. Hvis løsningen av ligningen er plussminus roten av 6 blir det plussminus roten av 6 i eksponenten, ikke plussminus 6. Se også over løsningen av ligningssettet en gang til.

[Razzy]

A_2)


[tex]$$y^{\prime \prime }- 6y = 0$$[/tex]


Karakteristisk lign:

[tex]$$\lambda ^{\prime \prime } - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt 6 $$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = {C_1}{e^{6x}} + {C_2}{e^{ - 6x}}}} $$[/tex]


[tex]$$y\left( 0 \right) = {C_1}{e^{6 \cdot 0}} + {C_2}{e^{ - 6 \cdot 0}} = 3$$[/tex]

[tex]$$1.\;{C_1} + {C_2} = 3$$[/tex]

Ligning 1.

[tex]$$y^\prime \left( x \right) = 6{C_1}{e^{6x}} - 6{C_2}{e^{ - 6x}}$$[/tex]

[tex]$$y^\prime \left( 0 \right) = 6{C_1}{e^{6\cdot 0}} - 6{C_2}{e^{ - 6 \cdot 0}} = 0 \;\;\;\left| { \cdot {1 \over 6}} \right.$$[/tex]

[tex]$$2. \;{C_1} - {C_2} = 0$$[/tex]

Ligning 2.

[tex]$$1 + 2$$[/tex]

Vi løser bruker addisjonsmetoden og løser lign-settet.

[tex]$$2{C_1} = 3 \Rightarrow {C_1} = {3 \over 2}$$[/tex]

[tex]$$Innsatt:\;\;{3 \over 2} + {C_2} = 3 \Rightarrow {C_2} = {3 \over 2}$$[/tex]

Spesiell lign blir:

[tex]$$\underline {\underline {y\left( x \right) = {3 \over 2}{e^{6x}} + {3 \over 2}{e^{ - 6x}}} } $$[/tex]

Du har et par slurvefeil her. Hvis løsningen av ligningen er plussminus roten av 6 blir det plussminus roten av 6 i eksponenten, ikke plussminus 6. Se også over løsningen av ligningssettet en gang til.

Beklager slurvefeilene - det er unødvendig.

Er du sikker angående plussminus i eksponenten?


Siterer her en oppgave fra forelesning:


[tex]$$y^{\prime \prime } - 9y = 0$$[/tex]

[tex]$${\rm{Karakteristisk ligning:}}\;{\lambda ^2} - 9 = 0$$[/tex]

[tex]$${\lambda ^2} = 9$$[/tex]

[tex]$$\lambda = \pm \sqrt 9 = \pm 3$$[/tex]

[tex]$${\rm{Generell losning:}}\;\underline {{\rm{y}}\left( x \right) = {C_1}{e^{3x}} + {C_2}{e^{ - 3x}}} $$[/tex]

Er ikke dette riktig?

[Razzy]

b)


[tex]$$y^{\prime \prime } - 6y = {e^{2x}}$$[/tex]

[tex]$${y_p} = A{e^{2x}}$$[/tex]

[tex]$${{y^\prime}_p} = 2A{e^{2x}}$$[/tex]

[tex]$${{y^{\prime \prime }}_p} = 4A{e^{2x}}$$[/tex]


[tex]$${\rm{Innsatt i oppr}}{\rm{.lign:}}\;4A{e^{2x}} - 6A{e^{2x}} = {e^{2x}}$$[/tex]

[tex]$$ - 2A{e^{2x}} = {e^{2x}}$$[/tex]

[tex]$${\rm{Vi ser at:}}\;{e^{2x}}: \; - 2A = 1 \Rightarrow - {1 \over 2}$$[/tex]


[tex]$${\rm{Setter tilbake:}}\;{y_p} = A{e^{2x}}$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {{y_p} = - {1 \over 2}x{e^{2x}}}} $$[/tex]

Spørsmål: Her må man passe på høyre siden - det er den som bestemmer hva jeg skal velge som partikulær løsning. Av og til er det slik at jeg må velge: [tex]$$Ax{e^{2x}}$$[/tex] og dette er når V.S inneholder leddet jeg ellers ville valgt? (i dette tilfellet: [tex]$$A{e^{2x}}$$[/tex])

[Razzy]

c)


[tex]$$y{{dy} \over {dx}} = 3x - 4$$[/tex]

[tex]$$\int y \;dy = \int {\left( {3x - 4} \right)dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}{x^2} = {3 \over 2}{x^2} - 4x + C$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {{y^2} = 3{x^2} - 8x + C}} $$[/tex]

[tex]$$\left. \matrix{y\left( x \right) + \sqrt {3{x^2} - 8x + C} \hfill \cr y\left( x \right) - \sqrt {3{x^2} - 8x + C} \hfill \cr} \right\}{\rm{Hvilken skulle vi brukt? Dette kan ikke bestemmes uten startverdi opplysninger}}{\rm{.}}$$[/tex]

Fasit (som jeg mener ikke kan være riktig):

[tex]$$y\left( x \right) = \sqrt {3{x^2} - 8x + C} $$[/tex]

[Razzy]

d)


[tex]$$mv^\prime = - k{v^2}\;\;\;\;\left| { \cdot {1 \over {m{v^2}}}} \right.$$[/tex]

[tex]$${1 \over {{v^2}}} \cdot {{dv} \over {dt}} = - {k \over m} = - {{0,2} \over {80}}$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {{v^2}}}dv = } - \int {{{0,2} \over {80}}} \;dt$$[/tex]

[tex]$${1 \over 3}{v^3} = {{0,2} \over {80}}t + C\;\;\left| { \cdot 3} \right.$$[/tex]

[tex]$${v^3} = {3 \over {400}}t + C^\prime$$[/tex]

[tex]$${\rm{Generell losning:}}\;\;v\left( t \right) = \pm\sqrt[3]{\frac{3}{400}t+C^\prime} $$[/tex]

Kommentar: Usikker på den generelle løsningen, ser dere noen katastrofale trekk ovenfor?

Fasit:

[wingeer]

A2)
Det fra forelesningen er riktig, og du har nå løst ligningssettet rett. MEN, ligningen [tex]\lambda^2 - 6 = 0[/tex] har røttene [tex]\lambda=\pm sqrt(6)[/tex]. Her må du huske å få med at det skal være ROTEN av 6. Ikke bare 6. Så vil du få rett.

b)
Det du må huske på her er at partikulærløsningen ikke skal være en lineærkombinasjon av den generelle løsningen. Dersom du ser på den generelle løsningen ser du at: [tex]y=\frac{3}{2}e^{sqrt{6}} + \frac{3}{2}e^{-sqrt{6}}[/tex]. Er [tex]y_p=Ae^{2x}[/tex] en lineærkombinasjon av disse? Dersom den ikke er en lineærkombinasjon går det fint å bruke den verdien. Dersom den er må du multiplisere med x.

c)
Det har du nok rett i, med mindre jeg ser bort fra noe veldig åpenbart.

[Razzy]

A2)
Det fra forelesningen er riktig, og du har nå løst ligningssettet rett. MEN, ligningen [tex]\lambda^2 - 6 = 0[/tex] har røttene [tex]\lambda=\pm sqrt(6)[/tex]. Her må du huske å få med at det skal være ROTEN av 6. Ikke bare 6. Så vil du få rett.

b)
Det du må huske på her er at partikulærløsningen ikke skal være en lineærkombinasjon av den generelle løsningen. Dersom du ser på den generelle løsningen ser du at: [tex]y=\frac{3}{2}e^{sqrt{6}} + \frac{3}{2}e^{-sqrt{6}}[/tex]. Er [tex]y_p=Ae^{2x}[/tex] en lineærkombinasjon av disse? Dersom den ikke er en lineærkombinasjon går det fint å bruke den verdien. Dersom den er må du multiplisere med x.

c)
Det har du nok rett i, med mindre jeg ser bort fra noe veldig åpenbart.

Flott tilbakemelding - takk for tar deg tid. Jeg ser hva du sier og er helt enig.

[wingeer]

d)
Hint: Sikker på at du har integrert alt helt rett?

[Razzy]

d)
Hint: Sikker på at du har integrert alt helt rett?

d)

[tex]$$mv^\prime = - k{v^2}\;\;\;\;\left| { \cdot {1 \over {m{v^2}}}} \right.$$[/tex]

[tex]$${1 \over {{v^2}}} \cdot {{dv} \over {dt}} = - {k \over m} = - {{0,2} \over {80}}$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {{v^2}}}dv = } - \int {{{0,2} \over {80}}} dt$$[/tex]

[tex]$${1 \over { - 2 + 1}}{v^{ - 2 + 1}} = - {{0,2} \over {80}}t + C$$[/tex]

[tex]$${v^3} = {3 \over {400}}t + C^\prime$$[/tex]

[tex]$$ - {v^{ - 1}} = - {{0,2} \over {80}}t + C\;\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.$$[/tex]

[tex]$${1 \over v} = {{0,2} \over {80}}t - C \;\left| { \cdot {{80v} \over {0,2t}}} \right.$$[/tex]

[tex]$${1 \over v} \cdot {{80v} \over {0,2t}} = {{0,2t} \over {80}} \cdot {{80v} \over {0,2t}} - C \cdot {{80v} \over {0,2t}}$$[/tex]

[tex]$${{80} \over {0,2t}} = v - C^\prime$$[/tex]

[tex]$$v\left( t \right) = {{80} \over {0,2t}} + C^\prime = \underline {{{400} \over t} + C^\prime} $$[/tex]

Kommentar: Her gikk det nok litt fort på H.S. - Nå skal det derimot være nærmere fasiten, vel og merke kun nærmere...

[Vektormannen]

Du kan ikke kalle [tex]C \cdot \frac{80v}{0.2t}[/tex] for en ny konstant C'! Dette blir jo ikke en konstant siden det involverer både v og t.

Det jeg heller ville gjort er å stoppe opp når du kommer hit:

[tex]-v^{-1} = -\frac{0.2}{80}t + C[/tex] (hva er det på linjen ovenfor egentlig?)

Når du har kommet hit så har du:

[tex]\frac{1}{v} = \frac{0.2}{80}t + C^\prime[/tex]

Hvis du nå ganger med v på begge sider og deler på hele høyresiden så får du:

[tex]v = \frac{1}{\frac{0.2}{80}t + C^\prime} = \frac{1}{\frac{1}{400}t + C^\prime}[/tex]

[Razzy]

Du kan ikke kalle [tex]C \cdot \frac{80v}{0.2t}[/tex] for en ny konstant C'! Dette blir jo ikke en konstant siden det involverer både v og t.

Det jeg heller ville gjort er å stoppe opp når du kommer hit:

[tex]-v^{-1} = -\frac{0.2}{80}t + C[/tex] (hva er det på linjen ovenfor egentlig?)

Når du har kommet hit så har du:

[tex]\frac{1}{v} = \frac{0.2}{80}t + C^\prime[/tex]

Hvis du nå ganger med v på begge sider og deler på hele høyresiden så får du:

[tex]v = \frac{1}{\frac{0.2}{80}t + C^\prime} = \frac{1}{\frac{1}{400}t + C^\prime}[/tex]

Kjempeflott og selvfølgelig kan jeg ikke kalle et uttrykk med variabler for en konstant...

Smart å ta hele høyre siden, det var oversiktlig. Enkel kryssmultiplikasjon.

EDIT: Resten av oppgaven gikk som en drøm!