Delbrøkoppspaltning

[Nova]

$\frac{1}{(a-y)(b-y)}$

LF:
[tex]\frac{1}{(b-a)(a-y)} + \frac{1}{(a-b)(b-y)[/tex]

Spørsmål er jo hvordan skjer dette? Jeg tenker:

$\frac{1}{(a-y)(b-y)}=\frac{A}{(a-y)}+\frac{B}{(b-y)}$

$1=A(b-y)+B(a-y)$

Og så kommer jeg ikke lenger... :S

[Nebuchadnezzar]

Hva skjer om du nå velger først $y=b$, også $y=a$?

[Nova]

1 = A(b-y) + B(a-y)

y = b
1 = A(b-b) + B(a-b)
B = 1/(a-b)

y = a
1 = A(b-a) + B(a-a)
A = 1/(b-a)

$\frac{A}{a-y}+\frac{B}{b-y}$
$\frac{1}{(b-a)(a-y)}+\frac{1}{(a-b)(b-y)}$

OI se der ja!

[Nebuchadnezzar]

Nesten riktig det, men du bytter bare ut y i ett av leddene, du må gjøre det i begge =)

[Nova]

Haha ja! Jeg oppdaget det og endret på det! Mest sannsynlig mens du skrev

[Nova]

Men når dette skal integreres

Får man ikke:
$\frac{-ln(a-y)}{a-b}-\frac{ln(b-y)}{a-b}+C?$

Det jeg egentlig lurer på er jo hvorfor ikke?

[Nebuchadnezzar]

Må passe litt bedre på algebraen din =)

$I=\int \frac{dx}{\left(a-y\right)\left(b-y\right)}$

$I=\int \frac{1}{\left(b-a\right)\left(a-y\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-y\right)}dx$

$I=\int \frac{1}{\left(b-a\right)\left(a-y\right)}+\frac{1}{\left(-1\right)\left(b-a\right)\left(b-y\right)}dx$

$I=\frac{1}{b-a}\int \frac{1}{a-y}-\frac{1}{b-y}dx$

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|a-y\right|+\ln \left|b-y\right|\right]+C$

Lykke til i morgen <3

[Nova]

Må passe litt bedre på algebraen din =)
$I=\int \frac{1}{\left(b-a\right)\left(a-y\right)}+\frac{1}{\left(-1\right)\left(b-a\right)\left(b-y\right)}dx$

Hva skjer her? Skjønner at du kan gange med -1 hvis du bytter om på fortegn inni også, sånn at det egentlig er originaluttrykket.

Meen må du ikke da også endre på (b-y)? Blir ikke alle parantesene ganget med -1?

I LF står det:
$\frac{ln(y-a)}{a-b}-\frac{ln(y-b)}{a-b}$

[Nova]

Lykke til i morgen <3

Hehe var det så åpenbart? xD Men takk (det samme?)!! Trengs.. Blir vel å stryke, og sitte hele sommerferien å øve til kont

[Nebuchadnezzar]

Hva med et litt enklere eksempel

La oss si at vi har

$5^2-4^2$

Dette vet vi er lik 9, men vi kan også skrive det som

$(5-4)(5+4)$

Dette er det samme som

$(5-4)(5+4)=((-1)(-1)\cdot 5+(-1)\cdot 4)(5+4)=[-1((-1)5)+4](5-4)=(-1)(-5+4)(5+4)=-(4-5)(5+4)$

At dette faktisk stemmer kan du se det ved å gange ut. Om en vil følge LF slavisk (noe som jeg ikke mener en skal, en skal kunne vurdere sine egne svar selvstendig )

Så kan du også føre det slik
$I=\int \frac{1}{\left(b-a\right)\left(a-y\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-y\right)}dx$

$I=\int \frac{1}{\left(b-a\right)\left(-1\right)\left(y-a\right)}+\frac{1}{\left[\left(-1\right)\left(b-a\right)\right]\left[\left(-1\right)\left(y-b\right)\right]}dx$

$I=\frac{1}{b-a}\int -\frac{1}{y-a}+\frac{1}{y-b}dx$

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|y-a\right|+\ln \left|y-b\right|\right]+C$

Svaret jeg endte opp med, kan også svært enkelt skrives om til LF`s sitt super riktige og mye bedre svar enn mitt =)


$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|a-y\right|+\ln \left|b-y\right|\right]+C$

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|\left(-1\right)\left(y-a\right)\right|+\ln \left|\left(-1\right)\left(y-b\right)\right|\right]+C$

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\left(\ln \left|y-a\right|+\ln \left(-1\right)\right)+\left(\ln \left|y-b\right|+\ln \left(-1\right)\right)\right]+C$

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|y-a\right|+\ln \left|y-b\right|+\ln \left(-1\right)-\ln \left(-1\right)\right]+C$

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|y-a\right|+\ln \left|y-b\right|\right]+C$

Eller om du foretrekker andre regler så kan vi også se overgangen slik.
Selv om den ikke er heelt stueren, vi vet ikke foretgnene på a og b.

$I=\frac{1}{b-a}\left[-\ln \left|a-y\right|+\ln \left|b-y\right|\right]+C$

$I=\frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{b-y}{a-y}\right|+C$

$I=\frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{\left(-1\right)\left(y-b\right)}{\left(-1\right)\left(y-a\right)}\right|+C$

$I=\frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{y-b}{y-a}\right|+C$

Hadde eksamen i dag, men har heldigvis ikke i morgen. Gud så digg det er med ferie ^^

[Nova]

Hehe, jeg var bare litt usikker på om det var det samme! Men ser at det stemmer nå. Vet ikke hvor strenge de er på sånt på eksamen?

Tuuusen takk!

[trapes]

Lykke til i morgen <3

Hehe var det så åpenbart? xD Men takk (det samme?)!! Trengs.. Blir vel å stryke, og sitte hele sommerferien å øve til kont

Er det matte 1? Snakkes på konten for å si det sånn:P

[drgz]

Mindre tid på samfundet -> mer tid til lesing -> stå i matte1.

Enkelt regnestykke!

[Nova]

Er det matte 1? Snakkes på konten for å si det sånn:P

Hurra! Da slipper jeg å sitte alene i den store salen! Nå blir kanskje ikke det et problem uansett, hvis man tar en titt på gjennomsnittlig strykprosent i matte

Mindre tid på samfundet -> mer tid til lesing -> stå i matte1.

Enkelt regnestykke!

For min del er det nok ikke alle timene på samfundet som er problemet. Men ellers et godt tips!

[trapes]

Mindre tid på samfundet -> mer tid til lesing -> stå i matte1.

Enkelt regnestykke!

For min del er det nok ikke alle timene på samfundet som er problemet. Men ellers et godt tips!

+1