Integrere

[Integralen]

Oppgave 9.2.6

Løs integralet $\int sqrt{x}^2-3$, ved å substituere $x=sqrt3cosh(u)$

Prøvde slik men sjekket med wolframalpha og svarene stemte ikke med hverande, så hvor er feilen og hvordan blir det riktig?:

$x=\sqrt{3}cosh(u)$

da er:

$u=arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}})$

$\sqrt{3}\int sqrt3cos{h}^2(u)-3sinh(u)du$

$cos{h}^2(u)-sin{h}^2(u)=1$

$sinh(u)=\sqrt{cos{h}^2(u)-1}$

$3\int sin{h}^2(u)du=\frac{3sinh(2u)-6u}{4}+C=\frac{3\sqrt{cos{h}^2(2arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}}))-1}-6arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}})}{4}=\frac{2x\sqrt{(x^2-3)}-6arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}})}{4}$

som er ulik dette:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 5E2-3%29dx

?

På forhånd takk!

Edit: oppgave riktig løst.

[Nebuchadnezzar]

Har du prøvd å plotte svaret ditt mot det wolfram gir?

Selv anbefaler jeg deg ikke å være så glad i wolfram lær deg heller et litt tyngre matteprogram. Her anbefaler jeg deg Maple =)

Man altså, virker som du gjør alt rett!

Svaret du får, kan du omskrive på en litt annen måte før du begynner å integrere. Nemlig å legge merke til at

$3\int {\sinh }^2(x)dx=\frac{3}{2}(\sinh (x)\cosh (x)-x)+C$

Dette er bare en liten omskrivning, og da er det lettere å gjøre tilbakesubstitusjonen.

[Integralen]

Wolframalpha funker fint den og har involvert omskrivningen du påpeker i mitt første innlegg,brukte at $sin(2u)=2sinucosu$,for å forkorte. =)

Har og sammenlignet med løsningen av integralet over med løsningen av det jeg endte med,plottet inn med x=2 og fikk false:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %2B2%29%29

Hvis du vil finne ut av det:Prøv å sett tilbake for u og se om du ender opp med det w.f. endte med eller det jeg endte med.Bruk til slutt eksempel tallet 2 for å sammenligne ditt svar med w.a.


Hvor er feilen

[Nebuchadnezzar]

Oppgave 9.2.6

$3\int sin{h}^2(u)du\ne \frac{3sinh(2u)-6u}{4}+C$

På forhånd takk!

[Integralen]

Oppgave 9.2.6

$3\int sin{h}^2(u)du\ne \frac{3sinh(2u)-6u}{4}+C$

På forhånd takk!

Det er ikke $\ne$ ifølge:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=3i ... %28u%29+du

[Integralen]

Det er riktig som jeg har regnet i mitt første innlegg.

Hvis man setter inn eksempel den nedre grensen lik 0 og den øvre grensen lik 1 også sammenligner svaret , da stemmer det.

Jeg sammenlignet feil: Satte inn x=2 i det ubestemte integralet samtidig som jeg hadde en ukjent konstant C.Dette førte til at høyre(svaret jeg fikk) og venstre(integralet) siden ikke stemte fordi så lenge man har C så hjelper det ikke å sette x=2, man vil uansett da få feil utslag så lenge C er ukjent mens man setter en viss tall for x for å sammenligne.

Det riktige blir å gjøre den om til en bestemt integral ved å installere øvre og nedre grensene.For så å sammenligne svarene, siden da er svarene komplette.

Dermed løst ved at dette:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 4%29%29%5D

er lik dette:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... E2-3%29+dx

[Nebuchadnezzar]

$\frac{3\sinh (2u)-6u}{4}=\frac{3}{4}\sinh (2u)-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}[2\sinh (u)\cosh (u)]-\frac{3}{2}u$

$\frac{3}{2}[2\sinh (u)\cosh (u)-u]$

$u=\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$

$\frac{3}{2}[\sinh \left(\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\right)\cosh \left(\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\right)-\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)]$

$\frac{3}{2}[\sqrt{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)-\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)]$

$=\frac{3}{2}[x\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{x^2}{3}-1}-\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)]$

$=\frac{3}{2}[x\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{x^2-3}}{\sqrt{3}}-\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)]$

$=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-3}-\frac{3}{2}\text{arccosh}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$

Og resten orker jeg ikke, du får ta det om du ønsker. Du får ta dette med ei klype salt. Snart jul vettu. Herfra bruker du bare at

$\text{arccosh}=\log (x+sqrt{x}^2-1)$

Siden vi vet at $x$ er positiv.

[Integralen]

Oppgaven ble foresten korekt løst i mitt første innlegg.Men takk for at du bidro med ln funksjonen.

Edit: Innlegg om religion har ingenting her på forumet å gjøre.

[Magnus]

Javel, men religion har ingenting på dette forumet å gjøre.