Beregn exakt, samt forenkle svaret så mye som mulig!

[Tom Øistein]

Beregn exakt, samt forenkle svaret så mye som mulig!

Hva er det første jeg bør tenke på ?

[tex]sin(2cos^{-1}(\frac {4}5))[/tex]

[Vektormannen]

Her ville jeg først benyttet at [tex]\sin 2x = 2 \sin x \cos x[/tex]. Da er problemet redusert til å finne [tex]\sin(\cos^{-1}(4/5))[/tex]. Da kan det være lurt å tegne en trekant!

[Tom Øistein]

Ok, nå har jeg dette [tex]sin(\cos^{-1}(4/5))[/tex]

Jeg har tegnet en trekant, hva er neste steg?

Jeg er veldig blank på dette området...

[Vektormannen]

[tex]\cos^{-1}(4/5)[/tex] kan du se på som en vinkel i en rettvinklet trekant. Cosinus til denne vinkelen er 4/5. Hvis du lar vedliggende katet til vinkelen være 4 så betyr det at hypotenusen må være 5. Hvis ikke ville jo ikke cosinus til vinkelen vært 4/5, ikke sant? Sinus til vinkelen er motstående side katet delt på hypotenusen. Hvor lang er motstående katet?

[Nebuchadnezzar]

Det vektormannen sier er helt riktig, men

1. Husk på at

[tex]\sin \left( 2\arccos(\frac {4}5) \right) \, \neq \, \sin\left( \arccos(\frac{4}{5})\right)[/tex]

Det skal stå noe foran sinusen på høyresiden for at sidene er like.

2. Utifra dine poster virker det som du akkuratt har begynnt med universitetsmatematikk, antakeligvis etter noen år fra skolebenken.
Eller at du bare hopper i det.

Ta ting i rekkefølge

Lær deg å gå før du prøver å løpe. Lær deg potensregning, og algebra, logaritmer før du begynner på slike oppgaver. Det hjelper enormt, og er absolutt 100% nødvendig.

3. Her står det hvordan slike funksjoner regnes ut

http://oakroadsystems.com/twt/inverse.htm

---

Med litt rask hoderegning klarte jeg faktisk oppgaven, yay =)

[Tom Øistein]

Sinus må da være [tex]\frac{4}5:\frac{5}1[/tex] som blir
[tex]\frac{4}{25}[/tex]

[Vektormannen]

Nei, det er ikke helt riktig. Du har en rettvinklet trekant der vedliggende katet til en vinkel er 4 og hypotenusen er 5. Du ønsker å finne sinus til vinkelen. Det er per definisjon motstående katet til vinkelen delt på hypotenusen. Så det blir altså et eller annet delt på 5. Du må finne sidelengden til motstående katet. Det kan du gjøre ved hjelp av pytagoras, ikke sant?

[Tom Øistein]

[tex]a^2+4^2=5^2[/tex]

[tex]a^2=25-16[/tex]
[tex]a=\sqrt{9}=3[/tex] så da må sinus til vinkelen bli [tex]\frac {3}5[/tex]?

edit: a=3 ja

[Vektormannen]

Stemmer det

Klarer du resten da?

edit: litt pirk, du mener vel a, ikke a i andre, nederst der?

[Tom Øistein]

Jeg er usikker på hvordan jeg skal gå videre... jeg vet at sinus er [tex]\frac{3}5[/tex]. Neste steg er å gjøre om [tex]cos^{-1}[/tex] til noe som ikke er invertert?

[Vektormannen]

Du mener å finne [tex]\cos(\cos^{-1}(4/5))[/tex]? Det som står der er jo cosinus til vinkelen som har cosinusverdi 4/5. Eller mer teknisk: Cosinus av cosinusinvers av 4/5. Når du bruker en funksjon på dens egen inversfunksjon så får du ut argumentet som ble satt inn i inversfunksjonen.

Er du enig i at det må bli 4/5? [tex]\cos^{-1}(4/5)[/tex] er jo vinkelen i den trekanten du tegnet og brukte i sted. Nå skal du finne cosinus til den vinkelen. Men fra før vet du jo at det er 4/5. Men det kan være jeg misforstår deg nå. Var det dette du lurte på?

[Tom Øistein]

Jeg lurte på hva neste steg blir når vi har funnet ut at sinus = 3/5 og at cosinus er 4/5

[Vektormannen]

Da bruker du det jeg sa først:

[tex]\sin 2x = 2 \sin x \cos x[/tex]. Her er x i ditt tilfelle [tex]\cos^{-1}(4/5)[/tex]. Du får altså:

[tex]\sin(2 \cos^{-1}(4/5)) = 2 \sin(\cos^{-1}(4/5)) \cos(\cos^{-1}(4/5)) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}[/tex].

[Tom Øistein]

OK. Jeg vet at sin2x=2sinxcosx på grunn av en formel og at x=cos^-1(4/5) for at det står i oppgaven.

Så jeg kan skrive om [tex] sin(2cos^{-1}(4/5))[/tex] til [tex] 2sin(cos^{-1}(4/5))cos(cos^{-1}(4/5))=2\frac {3}5* \frac{4}5=24/25[/tex]


Det at det blir [tex]cos^{-1}(4/5)cos[/tex] igjen er det på grunn av at to som tidligere var innenfor parentesen er nå utenfor med sinus?

[Nebuchadnezzar]

Tja, jeg vil si det er lettere. (I hvert fall for meg) å først vise at

[tex]\sin(\arccos(x)) \, = \, \sqrt{1 - x^2} [/tex]

Resten fra der er bare ren innsetning. Altså at det er lettere å bevise det generellt enn for et spesifikt tilfelle =)