Utlede formel m integrering

[Kork]

Jeg skal med formelen for volum av omdreiningslekamar utlede en formel for volumet av en rett kjegle med radien r og høyden h.

Fasit:

[tex]$$\frac{y}{x} = \frac{r}{h}{\text{ gir }}y = \frac{r}{h}x$$[/tex]
[tex]$$V = \pi \int\limits_0^h {\frac{{{r^2}}}{{{h^2}}}{x^2}{\text{ d}}x = \frac{{\pi {r^2}h}}{3}} $$[/tex]



Oppgaven hørtes ikke så vanskelig ut, men jeg klarte aldri å resonnere meg fram til hvorfor y=xr/h er riktig utgangspunkt. Så om noen klarer å forklare meg det skal de få et diplom.

[Nebuchadnezzar]

Kan du finne et funksjonsuttrykk for den ene siden i kjeglen?

Mens det din bok gjør er regning med formlike trekanter, som jeg føler er vanskeligere

Finn en formel for siden, og integrer under denne

[Vektormannen]

Du ønsker å finne funksjonen som beskriver kanten til kjeglen. For å finne et omdreiningsvolum trenger du jo nettopp å vite hvordan den funksjonen som avgrenser det omdreide arealet er. Det de har gjort i fasiten er å ta utgangspunkt i at uansett hva [tex]x[/tex] er så vil trekanten med horisontal katet [tex]x[/tex] og vertikal katet [tex]y[/tex] være formlik med (den konstante) trekanten med horisontal katet [tex]h[/tex] og vertikal katet [tex]r[/tex].

Alternativt kan du tenke at du skal finne ligningen til den rette linja, uten å tenke formlikhet. Du vet at linja går gjennom 0, og du vet at den stiger [tex]r[/tex] opp når man går [tex]h[/tex] bortover, så stigningstallet er [tex]\frac{r}{h}[/tex]. Siden linja går gjennom origo må konstantleddet være 0. Altså er linja gitt ved [tex]y = \frac{r}{h}x[/tex].

[Kork]

Du vet at linja går gjennom 0, og du vet at den stiger [tex]r[/tex] opp når man går [tex]h[/tex] bortover, så stigningstallet er [tex]\frac{r}{h}[/tex]. Siden linja går gjennom origo må konstantleddet være 0. Altså er linja gitt ved [tex]y = \frac{r}{h}x[/tex].

Der var setningene jeg leitet etter, uten dere kunne jeg like gjerne søkt på medie og kommunikasjon med det samme. Takk =)