Hva er et initialverdiproblem?

[MatteNoob]

Hei,
Sitter og regner på noen oppgaver, og har kommet over en oppgave som sier:

Løs følgende initialverdiproblem:

$y\prime \prime +3y\prime -28y=14$

I) $y(0)=2$

II) $y\prime (0)=-1$

Jeg har aldri gjort dette før, og heller ikke hørt om initialverdiproblemer. Er dette en differnsiallikning?

Skal jeg finne løsningene og deretter sørge for at den oppfyller I og II?

[espen180]

Ja, det er en differensialligning, og du skal gjøre som du selv foreslår ist i innlegget ditt.

[MatteNoob]

Ok, tusen takk for hjelpen. Vet du grunnen til at det kalles "initialverdiproblem", hva innebærer initialverdi?

[Aleks855]

y(0) er initialverdien til funksjonen. Altså der funksjonen "starter" eller "initieres". Vanligvis kan man argumentere for at det finnes y(-a) også, men siden slike difflikninger ofte relateres til reelle hendelser, så er det y(0) som er startverdien til systemet.

Når man får y(0) oppgitt, så kalles det et initialverdiproblem.

[espen180]

Vel, initialverdiene er samtlige n-1 oppgitte verdier for en n-te grads differensialligning.

[Aleks855]

Hvis man får oppgitt y(2), kalles det fremdeles initialverdi?

[Gustav]

Hvis man får oppgitt y(2), kalles det fremdeles initialverdi?

Ja

[MatteNoob]

Takk så langt. Siterer meg selv og prøver problemet. Har støtt på en aldri så liten utfordring.

$y\prime \prime +3y\prime -28y=14$

I) $y(0)=2$

II) $y\prime (0)=-1$

Si jeg antar at løsningen er

$y(x)=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}$

Så jeg setter

$r^2+3r-28=0$, eller er det $r^2+3r-28=14$?

[Gustav]

$r^2+3r-28=0$

Du starter med å løse den homogene ligningen.

[MatteNoob]

Tusen takk for hjelpen. Jeg tror jeg har skjønt litt mer av dette nå. Kan noen se over og korrigere meg hvis det jeg sier eller regner nedenfor er feil?

$y\prime \prime +3y\prime -28y=14$

I) $y(0)=2$

II) $y\prime (0)=-1$

Jeg skal løse den homogene differensiallikningen først, deretter finne den partikulære løsningen?

Jeg prøvde meg frem slik:

$r^2+3r-28=0$

$r=\{4,-7\}$

Så hvis $y=y_h+y_p$, der $y_h$ er den homogene løsningen, og $y_p$ er den partiklulære løsningen, så kan jeg anta at funksjonen på høyresiden og venstresiden er like, dvs

$y=C$, slik at $y\prime =0$ og $y\prime \prime =0$

og dermed

$-28C=14\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$

Man får da at den eksplisitte løsningen blir

$y(x)=C_1{e}^{4x}+C_2{e}^{-7x}$

$y\prime (x)=4C_1{e}^{4x}-7C_2{e}^{-7x}$

som gir følgende (ved bruk av initialbetingelsene):

$C_1+C_2=2$

$4C_1-7C_2=-1$

$C_1=\frac{13}{11}{C}_2=\frac{9}{11}$

kombinert gir dette

$y(x)=\frac{13}{11}{e}^{4x}+\frac{9}{11}{e}^{-7x}-\frac{1}{2}$

[Janhaa]

Tusen takk for hjelpen. Jeg tror jeg har skjønt litt mer av dette nå. Kan noen se over og korrigere meg hvis det jeg sier eller regner nedenfor er feil?

$y\prime \prime +y\prime -28y=14$I) $[tex]$y(0) = 2[/te
II) $y\prime (0)=-1$

Jeg skal løse den homogene diferensiallikningen først, deretter finne den partikulære løsningen?
Jeg prøvde meg frem slik:
$r^2+3r-28=0$
$r=\{4,-7\}$
Så hvis $y=y_h+y_p$, der $y_h$ er den homogene løsningen, og $y_p$ er den partiklulære løsningen, så kan jeg anta at funksjonen på høyresiden og venstresiden er like, dvs
$y=C$, slik at $y\prime =0$ og $y\prime \prime =0$og dermed
$-28C=14\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$
Man får da at den eksplisitte løsningen blir
$y(x)=C_1{e}^{4x}+C_2{e}^{-7x}$
$y\prime (x)=4C_1{e}^{4x}-7C_2{e}^{-7x}$
som gir følgende (ved bruk av initialbetingelsene):
C_1 + C_2 = 2
$4C_1-7C_2=-1$
$C_1=\frac{13}{11}{C}_2=\frac{9}{11}$
kombinert gir dette
$y(x)=\frac{13}{11}{e}^{4x}+\frac{9}{11}{e}^{-7x}-\frac{1}{2}$

her har du nok glemt C = -0.5, dvs
$C_1+C_2-0,5=2$
trur eg...

[MatteNoob]

Hei,
Jeg trodde man skulle løse konstantene ved hjelp av den homogene løsningen først, og så spe på med konstanten for den partikulære løsningen til slutt?

[MatteNoob]

her har du nok glemt C = -0.5, dvs
$C_1+C_2-0,5=2$
trur eg...

Du har rett, takk :]