Å kvadrere, eller ikke kvadrere?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
hooray
Cantor
Cantor
Posts: 129
Joined: 21/09-2011 13:04
Location: Kristiansand

Hey! Har just lært meg metoden om fullstendig kvadrat, men jeg støtte borti en oppgave jeg ikke klarte å løse.
Men jeg klarte å løse den med B=M+N, C=M*N.

Oppgaven er et likningssett:
I: [tex]y=x^2-5[/tex]
II: [tex]y-3x=5[/tex]
II: [tex](x^2-5)-3x=5[/tex]
[tex]x^2-5-5-3x=0[/tex]
[tex]x^2-10-3x=0[/tex]

Deler 3x på 2.[tex]C=(\frac{B}{2})^2[/tex]
[tex]x^2-3x+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-10=0[/tex]

Men her stusser jeg, ett tall er et fullstendig kvadrat, om det kan deles på 2 og bli et helt tall?
[tex](x-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{2}-\frac{10 \cdot 2}{1 \cdot 2}[/tex]
[tex](x-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{2}-\frac{20}{2}[/tex]
[tex](x-\frac{3}{2})^2-\frac{23}{2}[/tex]

Vi kan bruke 3. kvadratsetning. [tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]

[tex]((x-\frac{3}{2})-\frac{23}{2})((x-\frac{3}{2})+(\frac{23}{2})[/tex]
[tex](x-\frac{3}{2}-\frac{23}{2})(x-\frac{3}{2}+\frac{23}{2})[/tex]
[tex](x-\frac{26}{2})(x-\frac{20}{2})[/tex]
[tex](x-13)(x+10)[/tex]

Ved å bruke B=M+N, C=M*N:
[tex]C:-5 \cdot 2=10[/tex]
[tex]B:-5+2=-3[/tex]
Svaret blir da (X-5)(X+2).
X=5 eller X=-2.

Hva gjør jeg feil? Jeg blir litt forvirret lengre oppe, når B deles på to, men tallet blir en brøk istedenfor et helt tall. Men er det ikke det som er prinsippet med fullstendig kvadrat? Må jeg enten bruke andregradsformelen, eller sistnevnte metode for å løse andregradslikninga?
Det er ikke verre enn det du selv gjør det til :)
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

jeg har ærlig talt litt problemer med å forstå deg her...
y(I) og y(II) - blander du 2 funksjoner eller...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

hooray wrote: Deler 3x på 2.[tex]C=(\frac{B}{2})^2[/tex]
[tex]x^2-3x+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-10=0[/tex]
Hvis du setter opp slik, skal du i alle fall få faktorisert polynomet:

[tex]x^2-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2-10=0[/tex]
hooray
Cantor
Cantor
Posts: 129
Joined: 21/09-2011 13:04
Location: Kristiansand

Sorry, var ikke helt sikker på hvordan jeg skulle skrive det, men det er to likningssett, nr1=I, og nr2=II

For å finne x og y, må vi bruke innsettingsmetoden, og jeg setter y fra likning I, inn i likning II.

Er det mer forståelig? :)

Red: Men som jeg ser så har likning II, 5 på høyre siden av brøkstreken.
[tex]y-3x=5[/tex], skal 5 alltid stå der, under hele operasjonen?
Om jeg tar den over til venstresiden, blir ikke da likningen ujevn?

OBS; Begynte å blande to oppgaver, det skal være rettet opp nå :)
Det er ikke verre enn det du selv gjør det til :)
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

hooray wrote:Om jeg tar den over til venstresiden, blir ikke da likningen ujevn?
Å «flytte over» er bare et annet navn på å gjøre det samme på begge sider. Her trekker du fra 5 på begge sider. Differansen på høyresiden blir da 0. Ligningen er like «jevn».
Brahmagupta
Guru
Guru
Posts: 628
Joined: 06/08-2011 01:56

Du legger til [tex]\frac32[/tex] på begge sider, det blir feil. Du skal legge til kvadratet av dette, altså [tex]\frac94[/tex] da blir det riktig.
[tex]x^2-3x=10[/tex]
[tex]x^2-3x+(\frac32)^2=10+(\frac32)^2[/tex]
[tex](x-\frac32)^2=\frac{49}4[/tex]
[tex]x=\frac32 \pm \sqrt{\frac{49}4}=\frac32 \pm \frac72[/tex]
hooray
Cantor
Cantor
Posts: 129
Joined: 21/09-2011 13:04
Location: Kristiansand

Takk Brah! :)

Men går det an å se på en fakorisering av en annengradslikning, om den har nullpunkter eller ei, uten å bruke andre metoder?

Eks:
[tex]x^2+4x+6[/tex]
[tex]c=(\frac{4}{2})^2=2^2=4[/tex]
[tex]x^2+4x+4-4+6[/tex]
[tex](x+2)^2-4+6[/tex]
[tex](x+2)^2+2[/tex]
[tex](x+2)^2+1^2[/tex]

Er det [tex]+1^2[/tex] leddet som viser at det ikke er mulig å faktorisere andregradslikningen? Siden [tex](a-b)^2=a^2-b^2[/tex] ikke er mulig?
Her ser vi at b leddet i stykket, er positivt, ikke negativt.
Det er ikke verre enn det du selv gjør det til :)
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Riktig det =)

Alternativt kan du sjekke om [tex]b^2-4ac[/tex] er negtivt, dersom dette er negativt så har ikke andregradslikningen noen reelle røtter.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Brahmagupta
Guru
Guru
Posts: 628
Joined: 06/08-2011 01:56

Det er faktisk akkuratt det samme som ble gjort. Andregradformelen utledes jo ved nettop denne metoden.
hooray
Cantor
Cantor
Posts: 129
Joined: 21/09-2011 13:04
Location: Kristiansand

Sweet! Takk gutter! :D
Det er ikke verre enn det du selv gjør det til :)
hooray
Cantor
Cantor
Posts: 129
Joined: 21/09-2011 13:04
Location: Kristiansand

Har noen mulighet for å se fort over denne andregradslikningen?
Jeg har gjort en eller annen fortegnsfeil, som jeg ikke klarer å finne, så jeg ender opp med motsatt svar av fasit.

[tex]x^2-7x+6=0[/tex]

[tex]x^2-7x+(\frac{7}{2})^2-(\frac{7}{2})^2+6=0[/tex]

[tex](x+\frac{7}{2})^2=(\frac{7}{2})^2-6[/tex]

[tex](x+\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}-\frac{6 \cdot 4}{1 \cdot 4}[/tex]

[tex](x+\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}-\frac{24}{4}[/tex]

[tex](x+\frac{7}{2})^2=\frac{49-24}{4}[/tex]

[tex](x+\frac{7}{2})^2=\frac{25}{4}[/tex]

[tex]x+\frac{7}{2}=\sqrt (\frac{25}{4})[/tex]

[tex]x=-\frac{7}{2} \pm \frac{5}{2}[/tex]

[tex]x=-\frac{7}{2} + \frac{5}{2} eller x=-\frac{7}{2} - \frac{5}{2}[/tex]

[tex]x=-\frac{2}{2} eller x=-\frac{12}{2}[/tex]

[tex]x=-1 eller x=-6[/tex]

[tex](x+1)(x+6)[/tex]

Jeg skulle egentlig fått [tex](x-1)(x-6)[/tex]
Det er ikke verre enn det du selv gjør det til :)
fuglagutt
Fermat
Fermat
Posts: 779
Joined: 01/11-2010 12:30

hooray wrote: [tex]x^2-7x+(\frac{7}{2})^2-(\frac{7}{2})^2+6=0[/tex]

[tex](x+\frac{7}{2})^2=(\frac{7}{2})^2-6[/tex]
Her er feilen din, det skal være [tex](x-\frac{7}{2})^2[/tex], altså 2. kvadratsetning og ikke første :)
Post Reply