OPPG 4.16 Sigma R2

[molteduden]

Det går hull på en tønne slik at den begynner å lekke. Etter t minutter renner det ut f(t) liter i minuttet. Vi har f(t)=3,0*0.90^t

Hvor mye renner ut de første 15 minuttene?

Slik jeg ser det blir:

f(t)=3.0*0.9^t dt = 3*(0.9^15)/ln(0.9)


Regneregelen jeg skal benytte er vel? a^x dx = a^x/ln(a)

Allikevel, svaret i fasiten sier 22.6 liter
takker på forhånd

[Vektormannen]

Jeg tror du har glemt nedre grense i integralet!

[Brahmagupta]

Du har et bestemt integral fra 0 til 15.
[tex][3\cdot \frac{0,9^t}{\ln{0,9}}]_0^{15}[/tex]

[molteduden]

Jeg tror du har glemt nedre grense i integralet!

Damn, tusen hjertelig
jeg trodde for en stund der at 3*(0.9^0)/ln(0.9) ble 0... :/

[molteduden]

Menne, neste spm blir å finne ut hvor lang tid det tar før det tar før det har rent ut 25 liter?

n [symbol:integral] 0

Altså fremgangsmedtoden i boka er veldig uoversiktlig :/

Jeg vet ikke hvordan jeg endrer integralet 3*0.9^t/ln(0.9) - 3*0.9^0/ln(0.9) til å funne ut hvor mange minutter det tar før det renner ut 25 liter.

Noen tips om hvor jeg skal starte?

[Vektormannen]

Integralet fra 0 til t gir deg hvor mange liter som har rent ut etter t minutt. Så hvor mange liter som har rent ut etter t minutt blir som du sier gitt ved

[tex]\frac{3 \cdot 0.9^t}{\ln 0.9} - \frac{3 \cdot 0.9^0}{\ln 0.9}[/tex]

På det tidspunktet du er ute etter skal dette uttrykket være lik -25, ikke sant?

[molteduden]

Integralet fra 0 til t gir deg hvor mange liter som har rent ut etter t minutt. Så hvor mange liter som har rent ut etter t minutt blir som du sier gitt ved

[tex]\frac{3 \cdot 0.9^t}{\ln 0.9} - \frac{3 \cdot 0.9^0}{\ln 0.9}[/tex]

På det tidspunktet du er ute etter skal dette uttrykket være lik -25, ikke sant?

Ja, men hvordan skal jeg få skilt ut t verdien på en egen side av erlikhetstegnet? Jeg tror jeg rett og slett mangler kunnskap ang. logaritme funksjonen :/

[Vektormannen]

Først rensker du opp ligningen slik at du har [tex]0.9^t = ...[/tex]. Deretter kan du ta logaritmen på begge sider av likhetstegnet. På venstre side kan du da benytte at [tex]\ln 0.9^t = t \cdot \ln 0.9[/tex]. Er du med på denne fremgangsmåten?

[molteduden]

Ja, det stopper opp fordi jeg ikke ser hva mer jeg har lov til å gjøre...


[tex]\frac{3\cdot\ 0.9^t}{ln 0.9} - \frac{3\cdot\ 0.9^0}{ln 0.9}[/tex]

Det får jeg gjort om til:

[tex]\frac{3\cdot\ 0.9^t}{ln 0.9} = \frac{3\cdot\ 0.9^0}{ln 0.9}[/tex]

Som igjen blir
[tex]\frac{3\cdot\0.9^t*ln 0.9}{ln 0.9 \cdot 3} [/tex]

Er jeg på rett spor her?
[tex]0.9^t= \frac{3\cdot\ln 0.9}{ln 0.9 \cdot 3} [/tex]

[Vektormannen]

Hvordan blir minustegnet til et likhetstegn? Det du gjør ville stemt dersom uttrykket skulle vært lik 0. Men her skal det være lik -25. (Husk at det uttrykket gir deg er hvor mange liter det har rent ut etter en tid t. Vi ønsker at det skal være lik -25 og så finne t-verdien som gjør at det blir det.) Ligningen du starter med skal altså være

[tex]\frac{3 \cdot 0.9^t}{\ln 0.9} - \frac{3 \cdot 0.9^0}{\ln 0.9} = -25[/tex]

Kan du løse denne? Du har løst ligningen ovenfor riktig, så prøv å gjøre de samme tingene her. Husk at alt du ender opp med på høyresiden bare vil være konstanter som du kan trekke sammen til ett tall.

[molteduden]

Aha, bomma med minus tegnet

Hvis dette stemmer:
[tex]0.9^t= \frac{3\cdot\ln 0.9}{ln 0.9 \cdot 3} [/tex][/quote]

så stemmer vel også dette da?
[tex]0.9^t=-25 [/tex]

Jeg er litt usikker på om jeg har lov til å trekke ut 0.9^t slik? for da kan jeg jo stryke resten, siden det er minus imellom... men allikevel :/ jeg veit ikke hva t verdien skal være for å få til -25

[molteduden]

Aha, bomma med minus tegnet

Hvis dette stemmer:
[tex]0.9^t= \frac{3\cdot\ln 0.9}{ln 0.9 \cdot 3} [/tex][/quote]

så stemmer vel også dette da?
[tex]0.9^t=-25 [/tex]

Jeg er litt usikker på om jeg har lov til å trekke ut 0.9^t slik? for da kan jeg jo stryke resten, siden det er minus imellom... men allikevel :/ jeg veit ikke hva t verdien skal være for å få til -25

[Vektormannen]

Det stemmer ikke nei. Du må løse den ligningen jeg satte opp i forrige innlegg.

[molteduden]

[tex]\frac{3 \cdot 0.9^t}{\ln 0.9} - \frac{3 \cdot 0.9^0}{\ln 0.9} = -25[/tex]

Da multipliserer jeg både oppe og nede?

[tex]\frac{3 \cdot 0.9^t * ln(0.9)}{\ln 0.9} - \frac{3 \cdot 0.9^0* ln(0.9)}{\ln 0.9} = -25* ln(0.9)[/tex]

Og så stryker jeg og får:
[tex]3 \cdot 0.9^t - {3 \cdot 0.9^0} = -25* ln(0.9)[/tex]

Så er vel [tex] 3 \cdot 0.9^0 [/tex] = 3 og dermed flytter jeg over:
[tex]3 \cdot 0.9^t = 3 -25 * ln(0.9)[/tex]

Og så kan jeg vel dividere på 3 på begge sider...
[tex]3 \frac{\cdot 0.9^t}{3} = \frac{-22 * ln(0.9)}{3}[/tex]

Da sitter jeg igjen med [tex]0.9^t = \frac{-22 * ln(0.9)}{3}[/tex]

Men fasiten min sier jo 20 minutter men :/ jeg synes jeg er langt unna enda for å si det sånn :/

[Vektormannen]

Det er riktig frem til [tex]3 \cdot 0.9^t = 3 - 25 \ln 0.9[/tex].

Men når du deler på 3 så må du huske at 3 / 3 = 1, ikke 0! Dermed får du

[tex]0.9^t = 1 - \frac{25 \ln 0.9}{3} \approx 1.878[/tex].

Tar du resten da?