Finne den totale deriverte

[Circel89]

Jeg sitter fast med denne oppgaven :

z= f(x,y)= e^x(x+y) + e^y

Hvor x= ln t og y= t^2

Jeg vet jeg skal bruke kjerneregelen med to variable. Men det stopper opp når jeg skal derivere F´x og F´y.

Det som gjør meg usikker er at e^x står foran parantesen med x+y.

Noen som kan hjelpe meg?

[svinepels]

Du må bruke produktregelen:

[tex]\frac{\partial z}{\partial x} = \left( \frac{\partial}{\partial x} e^x \right)(x+y) + e^x \left( \frac{\partial}{\partial x} \left( x+y \right) \right) + \frac{\partial}{\partial x} e^y[/tex]

[Circel89]

Blir da F´x = xe^x+ye^x+e^x?

e^y derivert med hensyn på x, blir det 0 ?
y´med hensyn på x, blir vel bare y´?

[svinepels]

Du har rett i at vi ender opp med

[tex]\frac{\partial z}{\partial x} = xe^x+ye^x+e^x[/tex]

Deriverer du noe som ikke har med x å gjøre, med hensyn på x, får du null. Altså er [tex]\frac{\partial}{\partial x} y = 0[/tex] og [tex]\frac{\partial}{\partial x} e^y = 0[/tex].

[Circel89]

Jeg ender også opp med F´y= e^x+e^y. Men setter jeg dette inn i kjerneregelen for en funksjon med to variable, får jeg ikke svaret til å stemme med boken min ?

[svinepels]

[tex]\frac{\partial z}{\partial y} = e^x \frac{\partial }{\partial y} (x+y) + \frac{\partial}{\partial y} e^y = e^x + e^y[/tex]

Mener du at dette ikke stemmer med noe som står i boka?

[Circel89]

Jo F´x og F´y får jeg til å stemme. Men når jeg regner ut den totale deriverte, F´t , får jeg ikke svaret som jeg finner i boken.

Ber jeg om for mye hvis jeg spør om du kunne vist videre fremgangs måte?
F´t

[Gustav]

[tex]\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}[/tex], der

[tex]\frac{\partial x}{\partial t}=t^{-1}[/tex] og

[tex]\frac{\partial y}{\partial t}=2t[/tex].

De to andre partiellderiverte er allerede beregnet, så da er det bare å regne ut den totalderiverte.