R1 vår 2012

[ZizouJR]

Del I

Oppgave 1

a)

I) $f^{\prime }(x)=15x^2+1$

II) $g^{\prime }(x)=15e^{3x}$

b)

$2\log \left(\frac{a^2}{b}\right)+\log (ab)-3\log a=\log [{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^2\cdot ab\cdot \frac{1}{a^3}]=\log \left(\frac{a^2}{b}\right)=2\log a-\log b$

c)

I) $f(x)=x^3-3x=x(x^2-3)$ så $f(x)=0$ når $x=0$ eller $x=\pm \sqrt{3}$

II) $f^{\prime }(x)=3x^2-3.f^{\prime }(x)=0$ når $x=-1$ eller x=1.

Bunnpunkt $(1,-2)$ , toppunkt $(-1,2)$

III) Nei.

d) Legg merke til at
$\begin{array}{lll}P(x)& =& x^3-3x^2-x+3\\ & =& x^2(x-3)-(x-3)\\ & =& (x^2-1)(x-3)\\ & =& (x-1)(x+1)(x-3)\end{array}$

Eventuelt tipp løsningene $x\{-3,-1,0,1,3\}$ da disse verdiene går opp i konstantleddet.

e)
$\mathbf{r}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}=[3t,-4.9t^2]$
$\dot{\mathbf{r}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}=[3,-9.8t]$
$\ddot{\mathbf{r}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}=[0,-9.8]$


Oppgave 2

a) Stigningstallet til linja er $a$. og stigningstallet til vektoren er $a/1=a$.

b) Linjene vil da ha retningsvektorer v_1 = [1,a_1] og $v_2=[1,a_2]$. Om linjene står vinkelrett på hverandre er vinkelen mellom disse 90 grader. Utifra definisjonen av dotproduktet må vi da ha $v_1\cdot v_2=0\Rightarrow 1+a_1\cdot a_2=0\Rightarrow a_1\cdot a_2=-1$

Dot produktet sier at $v\cdot u=|v||u|\cos (u,v)$ og lengden av vektorene våre er 1. Og $\cos ({90}^{\circ })=0$

c) så $y_2=-\frac{1}{2}x+b$ og
$5=-\frac{1}{2}\cdot 0+b\Rightarrow b=5$.

d) Nei.


Oppgave 3

d) Likningen for en tangent gjennom et punkt $x=a$ er gitt som

$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ hvor $f^{\prime }(x)=-x^{-2}$ så

$y=-a^{-2}(x-a)+\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a}$

Som ønsket.

b) For å finne y-skjæringen setter vi $x=0$ så $y=\frac{2}{a}$
for å finne x-skjæringen, setter vi $y=0$ så $x=2a$

c) Arealet av trekanten er gitt som

$\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot \frac{2}{a}=2$

Så arealet er konstant $2$ for alle verdier av $a$.


Del II

Oppgave 4

a) Vi har $\mathrm{\angle }BAC=\arccos \left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}\right)$

Her er $\overrightarrow{AB}=[9,5],\overrightarrow{AC}=[5,6]$ videre får vi

$\mathrm{\angle }BAC=\arccos \left(\frac{9\cdot 5+5\cdot 6}{\sqrt{9^2+5^2}\cdot \sqrt{5^2+6^2}}\right)=\arccos \left(\frac{75}{\sqrt{61}\sqrt{106}}\right)\approx 21.14$

b) For eksempel en god tegning gir $D(1,-3)$


Oppgave 5

Om AB er diameteren så er $r=\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{2}$ og
sentrum vil ligge midt mellom $A$ og $B$ så

$O=(\frac{1}{2}(4+2),\frac{1}{2}(2+4))=(3,3)$

Anta at $T=(x,y)$ da vil alle punkter som ligger på sirkelen kunne skrives som $|TO|=r$ så

$\sqrt{(x-3{)}^2+(y-3)}=\sqrt{2}\Rightarrow (x-3{)}^2+(y-3{)}^2=2$

som ønsket.


Oppgave 6

a) stigningstallet er forandringen i x retning er (4 - (-1)) = 5
og forandringen i y-retning er $(2-7)=-5$ slik at

$l=(4+5t,2-5t)$

b) $x=2-t,y=4-t$ så $(0,2)$ og $(-2,0)$

c)
Legg merke til at $x+y=(4+5t)+(2-5t)=6$, så vi kan skrive parameterfremstillingen som linja. $x+y-6=0$.
Avstanden fra et punkt til ei linje er da gitt som

$d=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1\cdot 6+1\cdot 3-6}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2.1213$
Fine formelen...


Oppgave 7

a) Arealet av en trekant er $\frac{1}{2}g\cdot h$ med innsatte verdier fås

[tex]A = g(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{-\frac{x}{2}[/tex]

Som ønsket.

b) Vi ønsker å løse $g^{\prime }(x)=0$, derivasjon og faktorisering gir

$g^{\prime }(x)=-\frac{5}{8}(x-2)e^{-\frac{x}{2}}$

Via fortegnslinje får vi at arealet er minst når $x=0$ og størst når $x=2$. Da er arealet

$g(2)=\frac{5}{2}{e}^{-1}\approx 0.92$

c)

Vi ønsker at $BA=OA$ så vi må løse

$f(x)=x$ digitale verkøy gir at $x\approx 1.303$


Oppgave 8

a) $\alpha$ er en periferivinkel halvparten av sentralvinkelen, her her sentralvinkelen $x$.

b) Vi ønsker å bestemme vinkel BCD på to ulike måter
vi ser at $BCD+\beta =180\Rightarrow BCD=180-\beta$

Videre så har vi at vinkelsummen i en firkant er $360$ så

$\alpha +ABC+BCD+CDA=360$

$BCD+CDA$ spenner er begge periferivinkler, og spenner ut sirkelen slik at

$2BCD+2CDA=360\Rightarrow BCD+CDA=180$ , innsatt gir dette at

$\alpha +BCD=180\Rightarrow BCD=180-\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(360-x)$
Som var det vi ønsket å vise

c) Vi har at

$180-\beta =\frac{1}{2}(360-x)=180-\alpha \Rightarrow \beta =\alpha$

som var det vi ønsket å vise

Oppgave 9

a) Nei

b) $y(x)=a(x+2)(x-1)(x+3)$ hvor $a$ er en eller annen konstant.
Videre så er $y(0)=12$ så $a=-4$ Altså er

$g(x)=-2(x+2)(x-1)(x+3)$

c)

$h(x)=a(x+2)(x-2{)}^2$ siden $h(0)=4$ så er $a=\frac{1}{2}$ og
$h(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x-2{)}^2$


Oppgave 10

a) Siden $OACB$ er et kvadrat så er $AC=OB=r=3$

b) $OAC$ er likebent slik vi setter så $a=OC=AC$ da er
$\sqrt{a^2+a^2}=3$ slik at $a=\frac{3}{\sqrt{2}}$
$OABC=a^2=9/2$ , det skaverte området blir følgelig

$\frac{1}{4}\pi r^2-a^2=\frac{9}{4}(\pi -2)\approx 2.57$


Oppgave 11

a) $P(A)=0.08P(\overline{A})=1-P(A)=0.98$

b) $P(B|A)=0.9P(B|\overline{A})=1-0.9=0.1$

$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=0.164$

$P(\cap (A)|B)=\frac{P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})}{P(B)}\approx 0.561$

EDIT: Takker 2357, glemte nr 11.

Er oppgave 6a og 6b riktig i fasiten?

jeg fikk parameterfremstillingen x=2+5t og y=4-5t og derfor ble skjæringspunktene mine annerledes. Mulig disse parameterfremstillingene er identiske, men kan ikke se at skjæringspunktene (-2,0) og (0,2) stemmer.

Hvis noen kunne kontrollregnet disse to oppgavene hadde det vært fint:)

[ChristanEeds]

Angående oppgave 6a)
Kan man skrive EF=[5,-5]=5[1,-1]
r=[t,-t]

Og dermed bruke paramterfremstilling 4+t ,2-t , istedenfor 4+5t , 2-5t ? Eller blir dette helt feil ?

Min lærebok har iallfall brukt forkortinger f.eks AB=[16,-8]= 8[2,-1] , r=[2,-1] .

Hva ble dine skjæringspunkt ZizouJR ?

[ZizouJR]

Husker ikke akkuratt hva det ble, men tror det var (0,6) og (6,0).

[ChristanEeds]

Husker ikke akkuratt hva det ble, men tror det var (0,6) og (6,0).

De skjæringspunktene fikk jeg også..Ikke at det er så troverdig når jeg ligger dårlig ann

[Janhaa]

Er oppgave 6a og 6b riktig i fasiten?
jeg fikk parameterfremstillingen x=2+5t og y=4-5t og derfor ble skjæringspunktene mine annerledes. Mulig disse parameterfremstillingene er identiske, men kan ikke se at skjæringspunktene (-2,0) og (0,2) stemmer.
Hvis noen kunne kontrollregnet disse to oppgavene hadde det vært fint:)

den første til Nebu stemmer:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D2-5t%29
=======
x=2-t
og
y=4-t
er feil
=======
jeg fikk samme som deg:
denne

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... D2%2B5t%29

[ZizouJR]

Husker ikke akkuratt hva det ble, men tror det var (0,6) og (6,0).

De skjæringspunktene fikk jeg også..Ikke at det er så troverdig når jeg ligger dårlig ann

Det var visst riktig

[ChristanEeds]

Er oppgave 6a og 6b riktig i fasiten?
jeg fikk parameterfremstillingen x=2+5t og y=4-5t og derfor ble skjæringspunktene mine annerledes. Mulig disse parameterfremstillingene er identiske, men kan ikke se at skjæringspunktene (-2,0) og (0,2) stemmer.
Hvis noen kunne kontrollregnet disse to oppgavene hadde det vært fint:)

den første til Nebu stemmer:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D2-5t%29
=======
x=2-t
og
y=4-t
er feil
=======
jeg fikk samme som deg:
denne

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... D2%2B5t%29

Feil ? Hvordan kan det være feil når de gir samme skjæringspunkt?

[ChristanEeds]

Husker ikke akkuratt hva det ble, men tror det var (0,6) og (6,0).

De skjæringspunktene fikk jeg også..Ikke at det er så troverdig når jeg ligger dårlig ann

Det var visst riktig

Hurra ! Viktig poeng for min del

[runnor18]

6a)
EF-vektor=[7-2,-1-4] = [5,-5].
Startpunktet er E(2,4). Dermed er parameterframstillinga for l=(2+5t,4-5t).

6b)
Skjæring med y-akse:
x=2+5t=0. t=-2/5. Da blir y=4-5(-2/5)=6. Skjæringspunkt= (0,6).

Skjæring med x-akse:
y=4-5t=0. t=4/5. Da blir x=2+5(4/5)=6. Skjæringspunkt= (6,0).

[Janhaa]

Er oppgave 6a og 6b riktig i fasiten?
jeg fikk parameterfremstillingen x=2+5t og y=4-5t og derfor ble skjæringspunktene mine annerledes. Mulig disse parameterfremstillingene er identiske, men kan ikke se at skjæringspunktene (-2,0) og (0,2) stemmer.
Hvis noen kunne kontrollregnet disse to oppgavene hadde det vært fint:)

den første til Nebu stemmer:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D2-5t%29
=======
x=2-t
og
y=4-t
er feil
=======
jeg fikk samme som deg:
denne
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... D2%2B5t%29

Feil ? Hvordan kan det være feil når de gir samme skjæringspunkt?

du skjønte ikke hva jeg mente...
$(0,6)og(6,0)$
er korrekte,
mens de andre er feil...

[ChristanEeds]

den første til Nebu stemmer:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D2-5t%29
=======
x=2-t
og
y=4-t
er feil
=======
jeg fikk samme som deg:
denne
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... D2%2B5t%29

Feil ? Hvordan kan det være feil når de gir samme skjæringspunkt?

du skjønte ikke hva jeg mente...
$(0,6)og(6,0)$
er korrekte,
mens de andre er feil...

Men parameterfremstillingen x=2-t og y=4-t som gir samme svar er lov istedenfor x=2-5t og y=4-5t?

[Vektormannen]

$x=2-t,y=4-t$ og $x=2-5t,x=4-5t$ er helt ekvivalente parameterfremstillinger (eneste forskjell er at man må velge en 5 ganger så liten parameter i den siste som i den første for å få samme punkt i begge to.)

[tonje94]

Hadde denne eksamenen idag. Mener jeg svarte bra på de fleste oppgavene, foruten 8a, som jeg ikke skjønte i det hele tatt...

Det er mulig jeg hadde regnet 9c og skrevet av det var oppgave 7c og omvendt, sykt hektisk helt på slutten der Vil jeg få uttelling på oppgavene uansett ??

Tuklet med merking av oppgaver og sidetall, vil dette påvirke vurderingen mye?

[Chikamaharry]

Hadde også denne i dag. Jeg pleier som regel å være ganske rask når det gjelder matte, men i dag var det så vidt jeg rakk det. Null kladd, og jeg begynte på del to halv elleve.

Så vidt jeg kan se, så har jeg ikke noen feil, selv om fremgangsmåten min noe er litt annerledes en Nebu på noen områder. Men jeg lever i håpet om en 6, bare for å bevise for mattelæreren at han har gitt meg feil karakter (5). Men jeg skal innrømme at jeg stod fast en stund på oppgave 6c, men jeg fikk den til å gi mening til slutt.

[tonje94]

Etter å ha sett fasiten tror jeg faktisk jeg fikk til alt utenom 8a som jeg da ikke svarte på. Om den oppgaven ikke teller så mye, og de ikke trekker meg for dårlig orden kan dette gå bra Blir uansett ikke noe dårligere enn 5.

Oppgavene var egentlig veldig greie...

Angående oppgave 8a: Hva mener de egentlig med: Buen BCD=x ? At (vinkel)C =x eller at (vinkel)BOS=x, hvor O er sentrum i sirkelen.