Er oppgave 6a og 6b riktig i fasiten?Nebuchadnezzar skrev:Del I
Oppgave 1
a)
I) [tex] f^\prime(x) = 15x^2 + 1 [/tex]
II) [tex] g^\prime(x) = 15 e^{3x} [/tex]
b)
[tex]2 \log\left( \frac{a^2}{b} \right) + \log(ab) - 3 \log a = \log\left[ \left( \frac{a^2}{b} \right)^2 \cdot ab \cdot \frac{1}{a^3} \right] = \log \left(\frac{a^2}{b} \right) = 2 \log a - \log b[/tex]
c)
I) [tex]f(x) = x^3 - 3x = x(x^2-3)[/tex] så [tex]f(x)=0[/tex] når [tex]x=0[/tex] eller [tex]x=\pm\sqrt{3}[/tex]
II) [tex]f^\prime(x) = 3x^2 - 3. f^\prime(x)=0[/tex] når [tex]x=-1[/tex] eller x=1.
Bunnpunkt [tex](1,-2)[/tex] , toppunkt [tex](-1,2)[/tex]
III) Nei.
d) Legg merke til at
[tex]\begin{array}{ll} P(x) & = & x^3 - 3x^2 - x + 3 \\ & = & x^2(x-3) - (x-3) \\ & = & (x^2-1)(x-3) \\ & = & (x-1)(x+1)(x-3)\end{array}[/tex]
Eventuelt tipp løsningene [tex]x \{ -3 , - 1 , 0 , 1 , 3\} [/tex] da disse verdiene går opp i konstantleddet.
e)
[tex]\mathbf{r(t)} = \left[ 3 t , - 4.9 t^2 \right] [/tex]
[tex]\mathbf{\dot{r}(t)} = \left[ 3 , - 9.8 t \right] [/tex]
[tex]\mathbf{\ddot{r}(t)} = \left[ 0 , - 9.8 \right] [/tex]
Oppgave 2
a) Stigningstallet til linja er [tex]a[/tex]. og stigningstallet til vektoren er [tex]a/1 = a[/tex].
b) Linjene vil da ha retningsvektorer v_1 = [1,a_1] og [tex]v_2 = [1,a_2][/tex]. Om linjene står vinkelrett på hverandre er vinkelen mellom disse 90 grader. Utifra definisjonen av dotproduktet må vi da ha [tex]v_1 \cdot v_2 = 0 \Rightarrow 1 + a_1 \cdot a_2 = 0 \Rightarrow a_1 \cdot a_2 = -1[/tex]
Dot produktet sier at [tex]v\cdot u = |v||u| \cos(u,v)[/tex] og lengden av vektorene våre er 1. Og [tex]\cos(90^\circ)=0[/tex]
c) så [tex]y_2 = -\frac{1}{2}x + b[/tex] og
[tex]5 = -\frac{1}{2}\cdot 0 + b \Rightarrow b = 5[/tex].
d) Nei.
Oppgave 3
d) Likningen for en tangent gjennom et punkt [tex]x=a[/tex] er gitt som
[tex]y = f^\prime(a)(x-a) + f(a)[/tex] hvor [tex]f^\prime(x) = -x^{-2}[/tex] så
[tex]y = -a^{-2}(x-a) + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2} + \frac{2}{a}[/tex]
Som ønsket.
b) For å finne y-skjæringen setter vi [tex]x=0[/tex] så [tex]y = \frac{2}{a}[/tex]
for å finne x-skjæringen, setter vi [tex]y=0[/tex] så [tex]x = 2a[/tex]
c) Arealet av trekanten er gitt som
[tex]\frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2[/tex]
Så arealet er konstant [tex]2[/tex] for alle verdier av [tex]a[/tex].
Del II
Oppgave 4
a) Vi har [tex]\angle{BAC} = \arccos \left( \frac{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} }{\left|\vec{AB}\right| \left|\vec{AC}\right|} \right)[/tex]
Her er [tex]\vec{AB} = [9,5] \, , \, \vec{AC} = [5,6] [/tex] videre får vi
[tex]\angle{BAC} = \arccos \left( \frac{ 9 \cdot 5 + 5 \cdot 6 }{\sqrt{9^2+5^2} \cdot \sqrt{5^2+6^2} } \right) = \arccos\left( \frac{75}{\sqrt{61}\sqrt{106}} \right) \approx 21.14[/tex]
b) For eksempel en god tegning gir [tex]D(1,-3) [/tex]
Oppgave 5
Om AB er diameteren så er [tex]r = \frac{1}{2}\left| AB \right| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{2}[/tex] og
sentrum vil ligge midt mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] så
[tex]O = \left( \frac{1}{2}(4+2) \, ,\, \frac{1}{2}(2+4)\right) = (3,3)[/tex]
Anta at [tex]T = (x,y)[/tex] da vil alle punkter som ligger på sirkelen kunne skrives som [tex]|TO| = r[/tex] så
[tex]\sqrt{(x-3)^2+(y-3)} = \sqrt{2} \Rightarrow (x-3)^2 + (y-3)^2 = 2[/tex]
som ønsket.
Oppgave 6
a) stigningstallet er forandringen i x retning er (4 - (-1)) = 5
og forandringen i y-retning er [tex](2-7)=-5[/tex] slik at
[tex]l = (4 + 5t, 2 - 5t)[/tex]
b) [tex]x = 2 - t , y = 4 - t[/tex] så [tex](0,2)[/tex] og [tex](-2,0)[/tex]
c)
Legg merke til at [tex]x + y = ( 4 + 5t ) + (2 - 5t) = 6[/tex], så vi kan skrive parameterfremstillingen som linja. [tex]x + y - 6 = 0[/tex].
Avstanden fra et punkt til ei linje er da gitt som
[tex]d = \frac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2 }} = \frac{1 \cdot 6 + 1 \cdot 3 - 6 }{\sqrt{1^2 + 1^2 }} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.1213[/tex]
Fine formelen...
Oppgave 7
a) Arealet av en trekant er [tex]\frac{1}{2} g \cdot h[/tex] med innsatte verdier fås
[tex]A = g(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{-\frac{x}{2}[/tex]
Som ønsket.
b) Vi ønsker å løse [tex]g^\prime(x) = 0[/tex], derivasjon og faktorisering gir
[tex]g^\prime(x) = -\frac{5}{8} (x-2)e^{-\frac{x}{2}}[/tex]
Via fortegnslinje får vi at arealet er minst når [tex]x=0[/tex] og størst når [tex]x=2[/tex]. Da er arealet
[tex]g(2) = \frac{5}{2} e^{-1} \approx 0.92[/tex]
c)
Vi ønsker at [tex]BA = OA[/tex] så vi må løse
[tex]f(x) = x[/tex] digitale verkøy gir at [tex]x \approx 1.303[/tex]
Oppgave 8
a) [tex]\alpha[/tex] er en periferivinkel halvparten av sentralvinkelen, her her sentralvinkelen [tex]x[/tex].
b) Vi ønsker å bestemme vinkel BCD på to ulike måter
vi ser at [tex]BCD + \beta = 180 \Rightarrow BCD = 180 - \beta[/tex]
Videre så har vi at vinkelsummen i en firkant er [tex]360[/tex] så
[tex]\alpha + ABC + BCD + CDA = 360 [/tex]
[tex]BCD + CDA[/tex] spenner er begge periferivinkler, og spenner ut sirkelen slik at
[tex]2 BCD + 2 CDA = 360 \ \Rightarrow \ BCD + CDA = 180[/tex] , innsatt gir dette at
[tex]\alpha + BCD = 180 \Rightarrow BCD = 180 - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}(360 - x) [/tex]
Som var det vi ønsket å vise
c) Vi har at
[tex]180 - \beta = \frac{1}{2}(360 - x) = 180 - \alpha \Rightarrow \beta = \alpha [/tex]
som var det vi ønsket å vise
Oppgave 9
a) Nei
b) [tex]y(x) = a(x+2)(x-1)(x+3)[/tex] hvor [tex]a[/tex] er en eller annen konstant.
Videre så er [tex]y(0) = 12[/tex] så [tex]a = -4[/tex] Altså er
[tex]g(x) = -2(x + 2)(x - 1)(x + 3)[/tex]
c)
[tex]h(x) = a (x+2)(x-2)^2[/tex] siden [tex]h(0)=4[/tex] så er [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] og
[tex]h(x) = \frac{1}{2}(x+2)(x-2)^2[/tex]
Oppgave 10
a) Siden [tex]OACB[/tex] er et kvadrat så er [tex]AC=OB=r=3[/tex]
b) [tex]OAC[/tex] er likebent slik vi setter så [tex]a=OC=AC[/tex] da er
[tex]\sqrt{a^2+a^2} = 3[/tex] slik at [tex]a=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]OABC = a^2 = 9/2[/tex] , det skaverte området blir følgelig
[tex]\frac{1}{4}\pi r^2 - a^2 = \frac{9}{4}(\pi - 2) \approx 2.57[/tex]
Oppgave 11
a) [tex]P(A) = 0.08 \ \ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 0.98[/tex]
b) [tex]P(B|A) = 0.9 \ \ P(B|\bar{A}) = 1 - 0.9 = 0.1[/tex]
[tex]P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A}) = 0.164[/tex]
[tex]P(\cap(A)|B) = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})}{P(B)} \approx 0.561[/tex]
EDIT: Takker 2357, glemte nr 11.
jeg fikk parameterfremstillingen x=2+5t og y=4-5t og derfor ble skjæringspunktene mine annerledes. Mulig disse parameterfremstillingene er identiske, men kan ikke se at skjæringspunktene (-2,0) og (0,2) stemmer.
Hvis noen kunne kontrollregnet disse to oppgavene hadde det vært fint:)
Vil jeg få uttelling på oppgavene uansett ??
Blir uansett ikke noe dårligere enn 5.