Bruk induksjon til å vise at...

[Vektormannen]

Når du kommer til [tex]n^2 + 2n + 1 > n+ 2[/tex] så har du jo egentlig ikke gjort noe annet enn å gange ut og trekke sammen litt. Det er ikke noe argument for at også P(n+1) er sann. Det du er nødt til å få gjort er å bruke antagelsen om at P(n) er sann. Det er jo at P(n+1) er sann hvis P(n) er sann du skal vise!

Du vet fra antagelsen at [tex]n^2 > n + 1[/tex] er sann. Men da vet du jo at [tex]n^2 + 2n + 1 > n+1+2n+1 = 2n + (n + 2)[/tex], ikke sant? Siden [tex]n \geq 2[/tex] så vet vi at 2n er et positivt tall. Da må [tex]2n + (n+2) > n + 2[/tex], ikke sant?

[Razzy]

Når du kommer til [tex]n^2 + 2n + 1 > n+ 2[/tex] så har du jo egentlig ikke gjort noe annet enn å gange ut og trekke sammen litt. Det er ikke noe argument for at også P(n+1) er sann. Det du er nødt til å få gjort er å bruke antagelsen om at P(n) er sann. Det er jo at P(n+1) er sann hvis P(n) er sann du skal vise!

Du vet fra antagelsen at [tex]n^2 > n + 1[/tex] er sann. Men da vet du jo at [tex]n^2 + 2n + 1 > n+1+2n+1 = 2n + (n + 2)[/tex], ikke sant? Siden [tex]n \geq 2[/tex] så vet vi at 2n er et positivt tall. Da må [tex]2n + (n+2) > n + 2[/tex], ikke sant?

1. [tex]n^2 > n + 1[/tex]

2. [tex]n^2 + 2n + 1 > n+1+2n+1[/tex]

Her kommer det inn et ledd: [tex]2n+1[/tex]

Why? Må visst ha det steg for steg her

[Nebuchadnezzar]

Du legger til [tex]2n + 1[/tex] på begge sider av likningen =)

Razzy, les her http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=31165 kort sagt, skal du vise at likheten stemmer for alle verdier. Ikke bare [tex]1[/tex] og [tex]1+2[/tex].

Vis at [tex]n^2 > n + 1[/tex] når [tex]n>2[/tex]

Derivasjon

Det enkleste her er selvsagt å se at [tex]2^2=4[/tex] og [tex](2)+1=3[/tex] og høyre side vokser raskere enn venstre siden (siden [tex]2n > 1[/tex] når [tex]n\geq2[/tex])

Fullføre kvadratet

[tex]n^2 - n - 1 > 0 [/tex]

[tex]\frac{1}{4}(2n-1)^2 - \frac{5}{4} > 0[/tex]

[tex](2n-1)^2 > 5[/tex]

Som stemmer når [tex]n\geq2[/tex].

Nå valgte jeg å vise deg to alternative måter å bevise ulikheten på, å hjelpe deg medinduksjonsbeviset overlater jeg til Vektormannen =)

[Razzy]

Du legger til [tex]2n + 1[/tex] på begge sider av likningen =)

1. [tex]$${n^2} > n + 1$$[/tex]

2. [tex]$${n^2} + 2n + 1 > n + 1 + 2n + 1$$[/tex]

3. [tex]$${n^2} + 2n + 1 > 2n + (n + 2)$$[/tex]


Nå ser jeg at: [tex]$${n^2} + 2n + 1 > {n^2}$$[/tex] og [tex]$$2n + (n + 2) > n + 1$$[/tex]

Konklusjon: Ved å sette inn [tex]$$2n + 1$$[/tex] på begge sider på likningen, og sjekke at ulikheten fortsatt gjelder - kan jeg nå konkludere med at likingen gjelder for alle n oppover.

Fikk mer føling av hva man skulle gjøre med slike oppgaver nå - takk!

Men noe som er litt defust er hvorfor setter du inn [tex]2n+1[/tex] på hver side og ikke bare [tex]n+1[/tex]?

Hei Nebuchadnezzar sjekker nå...

EDIT: Må rekke matte undervisning 12:15.

[Nebuchadnezzar]

Legg merke til at høyresiden din er et perfekt kvadrat så du har

[tex](n+1)^2 \,>\, 3n + 2 \,>\, (n+1) + 1[/tex]

Som var det vi ønsket å vise

[Razzy]

Du legger til [tex]2n + 1[/tex] på begge sider av likningen =)

Vis at [tex]n^2 > n + 1[/tex] når [tex]n>2[/tex]

Derivasjon

Det enkleste her er selvsagt å se at [tex]2^2=4[/tex] og [tex](2)+1=3[/tex] og høyre side vokser raskere enn venstre siden (siden [tex]2n > 1[/tex] når [tex]n\geq2[/tex])

Fullføre kvadratet

[tex]n^2 - n - 1 > 0 [/tex]

[tex]\frac{1}{4}(2n-1)^2 - \frac{5}{4} > 0[/tex]

[tex](2n-1)^2 > 5[/tex]

Som stemmer når [tex]n\geq2[/tex].

Nå valgte jeg å vise deg to alternative måter å bevise ulikheten på,

Legg merke til at høyresiden din er et perfekt kvadrat så du har

[tex](n+1)^2 \,>\, 3n + 2 \,>\, (n+1) + 1[/tex]

Som var det vi ønsket å vise

Fikk følgende av svar av foreleser idag:


1. Hvis [tex]$${n^2} \;>\; n + 1$$[/tex] sann for en eller annen n.

2. Så er: [tex]$${\left( {n + 1} \right)^2} \;>\; \left( {n + 1} \right) + 1 = n + 2\;$$[/tex] også sann.

3. Som kan skrives som: [tex]$${n^2} + 2n + 1 \;>\; n + 2$$[/tex].


4. [tex]$${n^2} + 2n + 1 \;>\; n + 1 + 2n + 1$$[/tex]

5.[tex]$$3n + 2 \;>\; n + 2$$[/tex]

Vet jeg maser fælt med denne oppgaven, men hva skjer i linje 4 og 5 her? Hvorfor er det fornuftig å skrive opp det han skriver her?

[Vektormannen]

Han begynner med å se på [tex](n+1)^2 = n^2 + 2n + 1[/tex]. Det er dette som står på venstre side i steg 4. Så benytter han antagelsen om at [tex]n^2 > n+1[/tex] og får at [tex]n^2 + 2n + 1 > n+1 + 2n + 1[/tex]. Dette trekker han så sammen i steg 5 til 3n+2 og skriver at dette er større enn n+2, noe vi vet det er, siden 2n er et positvt tall. Jeg er enig i at måten han har satt det opp på kan være litt forvirrende uten noen videre forklaring.

[Razzy]

Jeg er enig i at måten han har satt det opp på kan være litt forvirrende uten noen videre forklaring.

Endret litt på notasjonen (skiller mellom det jeg antar med k m.m.) og er mer fornøyd med følgende løsning, men syntes oppgaven var litt merkelig (håper på fler av samme slag):

[tex]$$P\left( n \right):\;\;{n^2} \;>\; n + 1\;\;\;n \ge 2$$[/tex]

Grunnsteget:

1. [tex]$$P\left( 2 \right):\;\;{2^2} \;>\; 2 + 1$$[/tex]

2. [tex]$$\underline {P\left( 2 \right):\;\;4 \;>\; 3\;\;o.k.} $$[/tex]


Induksjonssteget:

3. Antar følgende: [tex]$$P\left( k \right):\;\;{k^2} \;>\; k + 1$$[/tex]

4. [tex]$$P\left( {k + 1} \right):\;\;{\left( {k + 1} \right)^2} \;>\; \left( {k + 1} \right) + 1$$[/tex]

5. [tex]$$P\left( {k + 1} \right):\;\;\underbrace {{k^2}}_{} + 2k + 1 \;>\; \underbrace {\left( {k + 1} \right)}_{} + 1$$[/tex]

Benytter antakelsen og får (finner et tillegg på begge sider):

6. [tex]$$P\left( {k + 1} \right):\;\;{k^2} + \underbrace {2k + 1}_{} \;>\; k + 1 + \underbrace {2k + 1}_{}$$[/tex]

7. [tex]$${k^2} + 2k + 1 \;>\; 3k + 2 \;>\; k + 2\;\;\;o.k.$$[/tex]

[Vektormannen]

Det ser bra ut nå. Bra!

[Razzy]

Det ser bra ut nå. Bra!

Yess!