Vektorer i rommet - plan

[HåpløsSOS]

Hei

Jeg har gitt likningen for et plan, samt koordinatene til to punkter. Hvordan bestemmer jeg punktene i planet som har samme avstand til de to gitte punktene (som ligger på hver sin side av planet)? Svaret skal være en parameterfremstlling for en linje.

All hjelp mottas med stor takk

[Janhaa]

skriv heller oppgava

[HåpløsSOS]

Planet a er gitt ved likningen 2x-y+z-3=0. I tillegg er punktene P(3,-4,2) og Q(-2,6,7) gitt. Bestem de punktene i a som har samme avstand til P som til Q.

[Zeph]

Er ikke så veldig enkelt å se hva du mener med koordinatene dine. Bruk forskjellige symboler for å markere.

[HåpløsSOS]

Planet alfa er gitt ved likningen 2x-y+z-3=0. I tillegg er punktene P=(3,-4,2) og Q=(-2,6,7) gitt. Bestem de punktene i alfa som har samme avstand til P som til Q.

Håper oppgaveteksten er lettere å forstå nå.

[Zeph]

Du har fortsatt ikke ordnet vektorene dine. Det skal være en x og en y verdi. Som du skriver det ser det ut som den har en ekstra verdi. Det går ikke


Altså (x,y), ikke (x,y,p)

[Nebuchadnezzar]

Og du har fortsatt ikke oppfattet at trådstarter snakker om [tex]x,y,z[/tex] planet. Altså [tex]3[/tex] dimensjoner, så hysj på deg :p

[gundersen]

Har du fasit?:)

[Vektormannen]

Først kan du finne alle punkter som har samme avstand fra de to punktene. (Dette gir deg en flate.) Deretter kan du finne hvilke av dem som også ligger i planet ditt.

Alle punkt (x,y,z) som ligger like langt fra P som fra Q må oppfylle at [tex]|[x,y,z] - [3, -4, 2]| = |[x,y,z] - [-2,6,7]|[/tex], ikke sant? Begynn med å sette opp det. Da har du en ligning som sier noe om hva slike punkt (x,y,z) må oppfylle. Hva slags flate får du at (x,y,z) må ligge på? Når du har funnet ut det så vet du kanskje fra før hvordan du kan gå videre

[HåpløsSOS]

Fasit: Punkter på linja x=t ^ y=1+t ^ z=4-t

Ser at retningsvektoren for linja står vinkelrett på normalvektoren til linja.

[Vektormannen]

Fasiten er riktig. Linja må nødvendigvis stå vinkelrett på normalvektoren til planet, siden punktene på linja tross alt skal ligge i planet.

[HåpløsSOS]

Aha! Så løsningen blir skjæringslinja mellom planet og flaten som inneholder alle punkter som ligger like langt fra P og Q? Når jeg har funnet likningen til linja omformer jeg den til parameterfremstilling. Jeg drev og tullet med å finne midtnormalen til PQ. Genialt forum dette altså. Setter stor pris for all hjelp!

[Vektormannen]

Det stemmer!

[HåpløsSOS]

Hei igjen

Jeg skal også vise at P og Q ligger på hver sin side av planet alfa. Når jeg setter verdiene for punktne inn i planlikningen, får jeg svar med ulikt fortegn. Punktene ligger derfor på hver sin side av planet. Dersom svarene hadde hatt likt fortegn, hadde punktene ligget på samme side av planet.

Hvorfor er det slik? Hadde satt stor pris på en forklaring!

[Vektormannen]

Husk hvor planligningen kommer fra. Den kommer fra at vi krever at skalarproduktet mellom normalvektoren til planet og vektoren fra et kjent punkt i planet og til et hvilket som helst annet punkt (x,y,z) skal bli 0. Den ene siden i planligningen (som ikke er 0) er altså [tex]\vec{n} \cdot [x-x_0, y-y_0, z-z_0][/tex], der [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] er et punkt i planet. Når du setter inn x, y og z og regner ut den ene siden i planligningen, så regner du altså egentlig ut dette skalarproduktet.

Så må vi huske på at skalarproduktet også er definert som [tex]\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)[/tex]. Hva sier det at du får motsatt fortegn deg om [tex]\cos \theta[/tex]?