Interessant observasjon

[GlennIB]

Hei

Etter noen eksperimenter med komplekse tall gjorde jeg følgende observasjon:



Er dette en overraskende sammenheng, selv om vi vet om Eulers identitet?


Grunnen til at jeg tenker mye på det er at her har man i utgangspunktet uttrykt e algebraisk, men man har jo brukt et transcendentalt tall [symbol:pi] for å uttrykke det. Man har også brukt den imaginære enheten i.

Jeg kom frem til dette da jeg skjønte at:

Og opphøyde roten av i med invers i[symbol:pi]/4

Så igjen: Synes folk det er en overraskende sammenheng? Det er utledet av Eulers identitet, men jeg synes det var ganske kult å komme frem til.

[GlennIB]

((-1)[sup]-i/[symbol:pi][/sup])[sup]i[symbol:pi][/sup] = (-1)[sup]-i/[symbol:pi]*i[symbol:pi][/sup] = (-1)[sup]-i*i[/sup] = (-1)[sup]-i^2[/sup] = (-1)[sup]-(-1)[/sup] = -1

Så slik som e[sup]i[symbol:pi][/sup] = -1, er ((-1)[sup]-i/[symbol:pi][/sup])[sup]i[symbol:pi][/sup] = -1

[Nebuchadnezzar]

Ved samme logikk

[tex]1 \, = \, \sqrt{1\,} \, = \, \sqrt{(-1)(-1)\,} \, = \, \sqrt{-1} \sqrt{-1} \, = \, i \, \cdot \, i \, = \, -1[/tex]

Problemet her er at du benytter deg av operasjoner og overganger som bare er gyldige for positive tall. For eksempel hva vil det si å ta roten av et negativt tall? Den logiske forklaringen er en rotasjon på 45 grader i det komplekse planet.

I samme kategori kommer egentlig hva eksponering vil si. For enkle uttrykk er det logisk. Da [tex]2^3[/tex], betyr at vi ganger [tex]2[/tex] med seg selv [tex]3[/tex] ganger. Men en møter med en gang problemer med denne tankegangen selv på lette uttrykk som [tex]\sqrt{2}[/tex], hva vil det si å gange et tall med seg selv en halv gang? Og selve intuisjonen bryter helt sammen når vi begynner med irrasjonalle tall, eller enda værre med imaginære tall.

Kort sagt så er ikke nødvendigvis [tex]\left( a^{b} \right)^c = \left( a^{c} \right)^b = a^{bc}[/tex] når a,b,c ikke er reelle.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2Fpi%29%29

[GlennIB]

I WolframAlpha-linken du postet har du erstattet [tex]i[/tex] med [tex]1[/tex], så man vil da ikke få det samme resultatet som jeg skrev: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2Fpi%29%29

Det algebraiske uttrykket (med blå skrift i originalposten) har samme egenskaper som [tex]e[/tex], så i dette tilfellet antar jeg at utregningene med de tradisjonelle reglene for potenser med reelle tall ikke vil være feil.

Jeg brukte Maple for å ta et skjermbilde av uttrykket, og Maple bruker stor I som representasjon av den imaginære enheten. Jeg ser at det kan se ut som et 1-tall.

Konkret: Hvilke regler gjelder ikke nødvendigvis for komplekse tall ved potensregning? Og må samtlige tall (basen, potensen, etc.) være reelle for at reglene skal gjelde?

[Nebuchadnezzar]

Nå ser jeg at hva du skrev er "riktig". Problemet i "beviset" mitt, og ditt er at komplekse tall ikke nødvendigvis er entydige. Ønsker du å lese mer om dette anbefaler jeg deg å lese deg opp på Principal Branches og Branches.

For reelle tall har vi unngått dette problemet ved å definere at [tex]\sqrt{a^2}=a[/tex] selv om [tex](-a)^2 =a^2[/tex] og.

Derimot for komplekse tall z^w, så kan dette uttrykket ha mange verdier.

Eksempelvis så har (-1)^3 tre løsninger, eller verdier. Og spørsmålet blir selvsagt hvilken av verdiene skal vi velge? Velger en "feil" verdi, kommer en frem til slike tåpeligheter som jeg skrev tidligere.

Generelt sett er det regelen [tex](z^w)^a \neq (z^{wa})[/tex] siden som nevnt [tex]z^w[/tex] kan ha flere verdier og derfor er ikke [tex]z^{wa}[/tex] nødvendigvis entydig.

Er sikkert andre som kan føye til mye mer, da jeg såvidt har vørt borti kompleks analyse.

[svinepels]

Er jo riktig det han skriver, så lenge man bruker principal branch av den komplekse logaritmen?

[tex]-1 = e^{i\pi(2n+1)}[/tex]

[tex](-1)^{-i/\pi} := e^{-\frac{i\ln(-1)}{\pi}} = e^{- \frac{ i^2 \pi(2n+1)}{\pi}} = e^{2n+1}[/tex]

hvis man her velger n = 0 som tilsvarer principal branch-logaritmen, så får man e.

[GlennIB]

Spørsmålet mitt i forbindelse med dette kommer nå:

e er et transcendentalt tall. Betyr dette at det ikke kan uttrykkes algebraisk?

Måten jeg skrev e på i originalposten, er dette et algebraisk uttrykk for e?

Jeg innser jo at jeg bruker et annet transcendentalt tall ([symbol:pi]) for å uttrykke e, så da faller jo antydningen om at e ikke er et transcendentalt tall på seg selv.

Så kjernen i spørsmålet: Hva er et transcendentalt tall?

[Gustav]

Så kjernen i spørsmålet: Hva er et transcendentalt tall?

Kort fortalt skiller man mellom algebraiske og transcendentale tall.

Forskjellen er at algebraiske tall er røtter(nullpunkt) til polynomer med rasjonale koeffisienter, mens transcendentale tall ikke er det.

Eksempel:

[tex]\sqrt{2}[/tex] er algebraisk fordi det er et nullpunkt for polynomet[tex]p(x) = x^2-2[/tex].

[tex]\pi[/tex] er transcendentalt fordi det ikke fins noe polynom [tex]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n[/tex] der [tex]a_i[/tex] [tex]\in \mathbb{Q}[/tex] og [tex]0<n<\infty[/tex] , slik at [tex]p(\pi)=0[/tex]. (ikke et trivielt resultat)

Analogt for [tex]e[/tex].

Alle rasjonale tall er f.eks. algebraiske. Alle rasjonale tall opphøyd i rasjonale tall er også algebraiske. Som over fins det både algebraiske og transcendentale tall blant de irrasjonale. (både [tex]\sqrt{2}[/tex], [tex]\pi[/tex] og [tex]e[/tex] er irrasjonale, men bare [tex]\sqrt{2}[/tex] er algebraisk)