Integral av trig.funksjon.

[Razzy]

Hei

Skal løse følgende integral: $\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{4}xdx\$\$$

Har følgende formler tilgjengelig:






Gir det et forsøk:

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{4}xdx\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left({\cos }^{2}x\right)}^{2}dx\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x\right)}^{2}dx\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)dx\$\$$


Løser sinus leddet ved bruk av substitusjon:

$\$\$\int \sin 2xdx\$\$$

$\$\$u=2x,u^{\prime }=2\Rightarrow dx=\frac{du}{2}\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\int \sin udu=-\frac{1}{2}\cos 2x\$\$$


$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right)dx\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(x-\frac{1}{4}\cos 2x\right)dx\$\$$

Ble ikke noe særlig penere det her?

FASIT: $\$\$\frac{3}{16}\pi \$\$$

[svinepels]

Ser ut som at du glemmer at hele uttrykket er opphøyd i 2. Prøv å gange ut og så behandle hvert ledd for seg

[2357]

I tredje linje har du erstattet ${\cos }^{2}x=\int {\cos }^{2}xdx$.

Bruk heller $\cos 2x=2co{s}^{2}x-1$.

[Razzy]

Ser ut som at du glemmer at hele uttrykket er opphøyd i 2. Prøv å gange ut og så behandle hvert ledd for seg

Ja ser det! Arg, den var flau

I tredje linje har du erstattet ${\cos }^{2}x=\int {\cos }^{2}x$.

Bruk heller $\cos 2x=2co{s}^{2}x-1$.

Dobbelt d'oh!

[Razzy]

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left({\cos }^{2}x\right)}^{2}dx\$\$$

Benytter sammenhengen: $\$\${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\cos 2x+1\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(\frac{1}{2}\cos 2x+1\right)}^{2}dx\$\$$

$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(\frac{1}{4}{\cos }^{2}2x+\cos 2x+1\right)dx\$\$$

Likte ikke helt det her?

[Razzy]

http://www.youtube.com/watch?v=hu4D7gk8jFU

[Nebuchadnezzar]

Noe enklere å skrive om til kompleks form først

Husk at $e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega$ og $\cos (\omega )=\frac{1}{2}[e^{i\omega }-e^{-i\omega }]$

$\begin{array}{ll}{\cos }^4(\omega )& ={(\frac{1}{2}[e^{i\omega }+e^{-i\omega }])}^4\\ & =\frac{1}{16}[e^{4i\omega }+4e^{3i\omega }{e}^{-i\omega }+6e^{2i\omega }{e}^{-2i\omega }+4e^{i\omega }{e}^{-3i\omega }+e^{-4i\omega }]\\ & =\frac{1}{16}[e^{4i\omega }+4e^{2i\omega }+6e^0+4e^{-2i\omega }+e^{-4i\omega }]\\ & =\frac{1}{16}[e^{4i\omega }+e^{-4i\omega }+4e^{2i\omega }+4e^{-2i\omega }+6]\\ & =\frac{1}{8}\left[\frac{e^{4i\omega }+e^{-4i\omega }}{2}\right]+\frac{1}{4}\left[\frac{e^{2i\omega }+e^{-2i\omega }}{2}\right]+6\\ & =\frac{1}{8}\cos (4\omega )+\frac{1}{2}\cos (2\omega )+\frac{3}{8}\end{array}$

Som er mye enklere å integrere.

Tok med litt ekstra mellomregninger enn hva jeg ville gjort til vanlig. Fordelen med å skrive det om til kompleks er at en gjør om et trigonometrisk problem, til et algebraisk. Brukte pascals trekant for å utvide uttrykket. Altså

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

[Janhaa]

Hei
Skal løse følgende integral: $[tex]$$$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{4}xdx$$[/tex
$\$\$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(x-\frac{1}{4}\cos 2x\right)dx\$\$$
Ble ikke noe særlig penere det her?
FASIT: $\$\$\frac{3}{16}\pi \$\$$

eller reduksjonsformelen for trig funksjoner, den utledes vha
delvis integrasjon:

http://en.wikipedia.org/wiki/Integratio ... n_formulae

[Razzy]

Nice - da har jeg altså vanlig innsettingsmetode, omskriving til kompleks, og reduksjonsformelen.

Tror ikke vi har som pensum å kunne reduksjon eller kompleksmetoden til Nebu.

Håper derfor å klare meg på innsetting.


By the way - dette er det siste offisielle mattefaget jeg skal ha!
(dette er valgfag matematikk på høgskole)

http://student.hib.no/fagplaner/ai/emne ... A141&ver=1

Er jo neste litt vemodig!