Eksamen i matematikk R2, våren 2012
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Oppdaterte texen igjen.. Deler teller og nevner på $\cos v \cdot \cos u$ også skjer det magi..
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ja, for meg er det magi, for jeg skjønner fortsatt ikke.Nebuchadnezzar skrev:Oppdaterte texen igjen.. Deler teller og nevner på $\cos v \cdot \cos u$ også skjer det magi..
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Er ikke første gangen jeg bruker fasit for å si det sånn, men kanskje første gang jeg ikke forstår hva som blir gjort.
Jeg prøvde å dele på cos v * cos u (hvorfor forresten) slik neste steg viser, men fikk i hvert fall ikke det endelige svaret. Ikke engang i nærheten.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Svaret er fordi det funker, vi ønsker tangens, som per definisjon er sin/cos. Legger med enda flere mellomregninger, så får du si ifra hvilken linje du faller av på =)
$ \begin{align*}
\tan(u-v) = & \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)} \\
= & \frac{\sin u \cos v - \cos u \sin v}{\sin u \sin v + \cos u \cos v} \\
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cos v - \cos u \sin v}{\cos u \cos v} }{\ \cfrac{\cos u \cos v + \sin u \sin v}{\cos u \cos v} \:} \\
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cos v}{\cos u \cos v} - \cfrac{\cos u \sin v}{\cos u \cos v} }{\ \cfrac{\cos u \cos v}{\cos u \cos v} + \cfrac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v} \: }
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cancel{\cos v} }{\cos u \cancel{\cos v}} - \cfrac{ \cancel{\cos u} \sin v}{ \cancel{\cos u} \cos v} }{\ \cfrac{ \cancel{\cos u} \cancel{ \cos v}}{ \cancel{\cos u} \cancel{\cos v} } + \cfrac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v} \: } \\
= & \frac{ \cfrac{ \sin u }{ \cos u } - \cfrac{ \sin v }{ \cos v } }{1 + \cfrac{ \sin u }{ \cos u } \cdot \cfrac{ \sin v }{ \cos v } } \\
= & \frac{\tan u - \tan v }{1 + \tan u \cdot \tan v }
\end{align*} $
Alternativt kan du først dele teller og nevner på $\cos v$ også dele teller og nevner på $\cos u$, det er det samme men kanskje å holde styr på algebraen blir noe enklere?
$ \begin{align*}
\tan(u-v) = & \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)} \\
= & \frac{\sin u \cos v - \cos u \sin v}{\sin u \sin v + \cos u \cos v} \\
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cos v - \cos u \sin v}{\cos u \cos v} }{\ \cfrac{\cos u \cos v + \sin u \sin v}{\cos u \cos v} \:} \\
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cos v}{\cos u \cos v} - \cfrac{\cos u \sin v}{\cos u \cos v} }{\ \cfrac{\cos u \cos v}{\cos u \cos v} + \cfrac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v} \: }
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cancel{\cos v} }{\cos u \cancel{\cos v}} - \cfrac{ \cancel{\cos u} \sin v}{ \cancel{\cos u} \cos v} }{\ \cfrac{ \cancel{\cos u} \cancel{ \cos v}}{ \cancel{\cos u} \cancel{\cos v} } + \cfrac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v} \: } \\
= & \frac{ \cfrac{ \sin u }{ \cos u } - \cfrac{ \sin v }{ \cos v } }{1 + \cfrac{ \sin u }{ \cos u } \cdot \cfrac{ \sin v }{ \cos v } } \\
= & \frac{\tan u - \tan v }{1 + \tan u \cdot \tan v }
\end{align*} $
Alternativt kan du først dele teller og nevner på $\cos v$ også dele teller og nevner på $\cos u$, det er det samme men kanskje å holde styr på algebraen blir noe enklere?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Takker så mye, Nebuchadnezzar.
Jeg kom helt til siste steg alene i går, men glemte at definisjonen på tan = sin/cos, så jeg skjønte ikke hvordan brøken ble skrevet om i siste ledd. Men nå er jeg med, i hvert fall noen lunde.
Jeg tror ikke jeg hadde fått til å løse denne oppgaven på eksamen.
Anyway, etter 1 1/2 dag er jeg ferdig med dette eksamenshefte. Eksamen kommer sikkert til å gå strålende!![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Jeg kom helt til siste steg alene i går, men glemte at definisjonen på tan = sin/cos, så jeg skjønte ikke hvordan brøken ble skrevet om i siste ledd. Men nå er jeg med, i hvert fall noen lunde.
Jeg tror ikke jeg hadde fått til å løse denne oppgaven på eksamen.
![Embarassed :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
Anyway, etter 1 1/2 dag er jeg ferdig med dette eksamenshefte. Eksamen kommer sikkert til å gå strålende!
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)