Fortegnsskjema/fortegnslinja

[wagashi]

1. Uttrykket er [tex]x^3 - 6x^2 + 7x + 4[/tex]. I forklaringen er det allerede funnet faktorene til uttrykket: [tex]x \approx 2,41, x \approx 0,41, x = 4[/tex]. I boka står det "Når vi faktoriserer tredjegradsuttrykket, kan vi også finne fortegnene ved regning. En x-verdi til venstre for -0,41 er x = -1. Da blir fortegnene til faktorene (x + 0,41)(x - 2,41)(x-4) lik [tex]- * - * -[/tex]
Altså blir fortegnet til produktet minus. Tilsvarende kan vi tenke i de andre områdene. Vi viser fortegnene på figuren."
Jeg skjønner ikke hva det menes med x-verdi til venstre for -0,41 er x = -1....
Betyr det at fortegnet til produktet avgjør hvilke områder vi skal ta med? F.eks. kun negative eller positive områder?

Svaret i fasiten er [tex]x \in <\gets, -0,41] \cup [2,41, 4 ][/tex], men oppgaven var "Løs ulikheten [tex]f(x) \leq 0[/tex]", så jeg skjønner ikke hvorfor tallene fra og med 0 og oppover som 2,41 og 4 tas med?


2. " ... Så regner vi ut fortegnet i hvert område. Dette kan vi gjøre ved å bruke et digitale verktøy til å regne ut funksjonsverdier i hvert område". Jeg bruker Casio 32KB og finner ikke bruksanvisning noen steder til å gjøre det.


3. Når et uttrykk inneholder et uløselig andregradsuttrykk, skal det ikke tas med til fortegnslinja/fortegnsskjema, stemmer det? F.eks. [tex]x^3-6x^2+13x-10[/tex] der faktorene blir [tex](x^2-4x+5)(x-2)[/tex] der andregradsuttrykket kan ikke faktoriseres ytterligere. En oppgave lyder slik : "Løs ulikheten [tex]f(x) > 0[/tex]" og svaret blir [tex]x \in <2, \to>[/tex], men jeg skjønner ikke svaret helt pga mine spørsmål over.

[damc]

Har du ett uttrykk som er slik: >0 eller <0 skal ikke nullpunktene være med i løsningsmengden. Men dersom det er større enn/mindre enn eller lik 0 skal nullpounkter være med. Du burde få lest deg opp på hvordan man lager fortegnslinje.

[Enrahim]

1 start. "x-verdi til venstre for" refererer til at om en tegner en vanlig tallinje der en har forskjellige x-verdier så vil alle "verdier til venstre for -0.41" bare være en annen måte å si "alle verdier som er lavere enn -0.41". -1 er en verdi som åpenbart er lavere enn -0.41, og i så måte et eksempel på en verdi som er "til venstre for" 0.41.

Om x er mindre enn -0.41 går det greit an å sjekke at både første, andre og tredje faktoren i gangestykket er negativt. I et slikt tilfelle vil også resultatet av gangestykket være negativt. Resultatet av gangestykket er det som er f(x) og som er det du skal sjekke når er mindre eller lik 0. Nå har du fått bekreftet at om x er mindre enn -0.41, så vil f(x) være et negativt tall, og følgelig *mindre* enn 0. Så dette er mulige x-verdier som oppfyller ulikheten.

Når det kommer til [2.41, 4], så vil jeg først besvare 2.

2. De x-verdiene du fant i forbindelse med faktoriseringen er de tallene som i følge løsningsforslaget fungerer som "grenser" for områder. I så måte er 2.41 en grense, -0.41 en grense, og i så måte alle tallene mellom disse to tallene et "område". Det de foreslår er å bare ta et tall i dette området (det vil si mellom disse to tallene), for eksempel 0, og sjekke hva slags fortegn du får da. I dette tilfellet vil du da få 0.41*-2.41*-4. Det går an å regne ut av dette på en kalkulator, men det viktige i denne sammenhengen er å observere at du da har et positivt tall ganger et negativt tall som igjen blir ganget med et negativt tall. Resultatet av et slikt gangestykke vil i så måte alltid bli positivt. Siden dette eksempelen ble et positivt tall får vi at resultatet av gangestykket da også alltid vil bli et positivt tall. Igjen resultatet av gangestykket er f(x), og for disse x verdiene har vi dermed at f(x) *ikke* er mindre eller lik 0 (da ingen positive tall er mindre enn 0). Det er i så måte ingen spesiell måte å skulle gjøre dette på noen kalkulator utover standard regneoperasjoner.

1 fortsettelse. Som du ser vil da også 2.41 og 4 være grenser som avgrenser et område. Velger man en x verdi i dette området (for eksempel 3), og gjør det samme som jeg beskrev i svaret på 2, så kommer du igjen frem til at resultatet av gangestykket vil bli et *negativt* tall. Og dette betyr at resultatet av gangestykket, f(x) igjen blir noe som blir mindre enn 0. 3, og alle andre tall mellom 2.41 og 4 oppfyller i så måte også ulikheten.


3. Et andregradsutrykk som ikke kan faktoriseres er enten *alltid positivt* eller *alltid negativt*. Det vil si at du kan ikke ignorere det helt. I eksempelet du oppgir er andregradsuttrykket slik at x alltid er positivt. Den andre faktoren er negativ om x er mindre enn 2, og positiv om x er større enn 2. Så om x er mindre enn 2 så vil du få at funksjonen er et positivt tall ganger et negativ tall - som blir et negativt tall, og dermed er ulikheten f(x) > 0 ikke oppfylt, mens om x er større enn 2, så er funksjonen resultatet av å gange to positive tall sammen, og dermed større enn 0. Om x er akurat 2, så får en at f(2)=0. Dette oppfyller ikke den strenge ulikheten f(x)>0, og derfor ikke del av løsningsmengden.

[wagashi]

@Enrahim: Tusen takk for svar.

1 Uttrykket "verdier til venstre for" forstår jeg nå. Uttrykket "verdier til høyre for" vil bety mer enn, ikke sant?

Altså du mener at hvis kravet var omvendt, dvs [tex]f(x) > 0[/tex], så ville vi sjekket om det fins x-verdier som er mer enn 0? Dvs 2,41 og 4 som oppfyller kravet og det fins løsning(er). Hvis det fins ingen x-verdier som er mer enn 0, vil det være ingen løsning, stemmer det?

2. Jeg skjønner at -0,41, 2,41 og 4 er grenser, men jeg skjønner ikke hvor de to siste fortegnene i [tex]- * - * -[/tex] kommer fra? Starter man alltid med tre negative fortegn (for tre faktorer i dette tilfelle) og så endre et negativt fortegn til positivt for hvert område i fortegnslinja?
Jeg skjønner gangestykke av negative og positive tall, mener du at det er kravet som avgjør hvilke områder jeg skal ta med? F.eks. i dette tilfelle [tex]f(x) \leq 0[/tex] betyr at jeg tar med kun de negative områder inkludert nullpunkter pga [tex]\leq[/tex] og hvis det hadde vært [tex]f(x) > 0[/tex], tar jeg med kun de som er positive områder, svaret vil bli som dette [tex]x \in <-0,41, 2> \cup <4, \to>[/tex], stemmer det?
Jeg synes fortegnsskjema er mer oversiktlig enn fortegnslinja...

1 fortsettelse: Ja, det er fordi -0,41 * 2,41 * 4 gir et negativt tall, dermed tas det området mellom fra og med 2,41 og til og med 4 med?

3. Hvordan vet du at det andregradsuttrykket er alltid positivt? Er det fortegnet til andregradsleddet som avgjør det?
Jeg skjønner hvorfor det er ikke [tex]x \in [2, \to>[/tex]. Hadde det vært ingen x-verdi som er høyere enn 0 når kravet er f(x) > 0, ville det vært ingen løsning, stemmer det?

[Enrahim]

1: Uklart hva du mener, men du får det rett i slutten av svaret ditt på 2.

2: -*-*- kommer av at du har gangestykket (x + 0,41)*(x - 2,41)*(x-4), og når x er mindre enn -0.41 blir x+0.41 negativt, x-2.41 blir negativt, og x-4 blir negativt. Altså tar du en minus ganger en minus ganger en minus ( -*-*- ). Om derimot x hadde vært 3 så ville x+0.41 bli et positivt tall (pluss), x-2.41 ville blitt et positivt tall (pluss) mens x-4 ville blitt et negativt tall (minus) altså minus ganger minus ganger pluss ( -*-*+ )

3: Andregradsuttrykket er allerede bekreftet at ikke kan faktoriseres (gjennom f.eks å se at det blir et negativt tall under rottegnet i andregradsformelen), altså har den ikke noe 0 punkt, altså vil den aldri skifte fra pluss til minus eller omvendt (da den da måtte gått gjennom 0). Altså er den alltid enten positiv eller negativ. Og da er det ikke værre enn å f.eks sjekke hva som vil skje om x=0. Da får du at x^2 −4x+5 = 0-0+5=5, altså positivt. Dermed kan en se at andregradsuttrykket også blir positivt.

[wagashi]

@Enrahim

1 Den første delen jeg skrev var bare tull, så glem det ^_^ Jeg har skjønt at det er fortegnene og ulikhetskravet som gjelder, uansett hvilke x-verdier vi har.

2 Jeg skjønner at fortegnene endrer seg avhengig av hvilke områder de er i.

3 Men resultatet av det andregradsuttrykket kan bli null om vi bruker en viss x-verdi?
"Andregradsuttrykket er allerede bekreftet at ikke kan faktoriseres (gjennom f.eks å se at det blir et negativt tall under rottegnet i andregradsformelen)"
Det stemmer, men da jeg prøvde det på kalkulatoren, fikk jeg opp at [tex]x_1 = 2 + i[/tex] og [tex]x_2 = 2 - i[/tex]. Hva betyr det?

[Enrahim]

At du får opp 2+i og 2-i betyr at du har en litt for proff kalkulator. Det viste seg i matematikken at det kunne være gunstig å kunne faktorisere ikke-faktoriserbare kvadratiske uttrykk, og dermed forestilte man seg tall som hadde den egenskapen at de kunne brukes for slik faktorisering. Kalkulatoren din er laget for å kunne jobbe med disse innbilte (imaginære) tallene, mens innen videregående (unntatt matematikk X) så kan du leve godt med å bare ignorere disse og bare forholde deg til de ekte (reelle) tallene.