Jeg sliter med induksjonsbeviset - Noen gode råd?

[Johan Nes]

Heisann,

Induksjonsbeviset får meg til å føle meg dum, men jeg ser at det er så sentralt i pensum og tidligere gitte eksamener at jeg må lære meg det. Håper at noen her er mer pedagogiske og behjelpelige enn boken min.

Først beviser vi formelen for n = 1. 1 på venstre side gir 1 på høyre side.

Så antar vi at formelen stemmer for n = k, hvor k er et vilkårlig valgt tall.

Da erstatter vi leddet n i formelen med k på begge sider.

Helt med så langt.

Men så blir det tricky. Nå skal vi vise at når formelen er rett for n = k, så er den også rett for n = k + 1. Og med det har vi vist at formelen er rett for alle heltallige verdier n større enn/lik 1.

Jeg skjønner prinsippet, men faller av på utregningen. Kan noen forklare meg dette steget som om de forklarte det til en 10 år gammel barneskoleelev med lærevansker?

Er det kun høyre siden av likhetstegnet man regner ut? I mellomregningene på eksamensoppgaver føler jeg at dette er litt utydelig, særlig når jeg med mine manglende algebrakunnskaper faller litt av. Typisk når de hopper over en mellomregning eller ikke forklarer hva som skjer.

Her er et eksempel fra en eksamensoppgave jeg regner på nå.

"Det blir påstått at 1 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3 = (n^2(n+1)^2)/4"

Jeg går direkte til siste steg med n = k + 1 og får da:

1 + 2^3 + 3^3 + ...+ k^3 + (k+1)^3 = ((k^2(k+1)^2)/4) + (k+1)^3

Det som har blitt gjort her er å legge til leddet (k^3) på begge sider, men når n = k + 1 blir det (k+1)^3.

Så følger resten av mellomregningen og det går litt i surr for meg. Er alt dette høyre side av likhetstegnet?

(k+1)^2((k^2/4)+k+1) = (k+1)^2((k^2+4k+4)/4) = (k+1)^2((k^2 + 2)^2)/4) =

((k+1)^2((k+1)+1)^2))/4

Og så konkluderer fasiten med at formelen er riktig for n = k + 1 og således for alle verdier for n.

Jeg ser at siste ledd tilsvarer formelen for n = k, men at den har + 1 for alle k.

Så er poenget å legge til k + 1 på høyre side av likhetstegnet, regne ut det og vise at det tilsvarer den originale formelen, men med + 1 for alle ledd med k?

Om noen kan vise meg mellomregningene også hadde det vært helt fantastisk.

På forhånd stor takk!

Mvh

En frustrert Johan Nes

[fuglagutt]

Orka ikke lese alt det der, på tide med LaTeX nå

Du skal vise
[tex]1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

Går rett til å vise det for n = k+1, der n = k blir antatt korrekt (og vi allerede har testet at det gjelder for n = 1);

Da må
[tex]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]

Vi bruker det vi har antatt er riktig som gir oss at vi skal vise;

[tex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]

Den enkleste måten å vise denne likheten på vil nok være å vise at

[tex]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} - \frac{k^2(k+1)^2}{4} = (k+1)^3[/tex]

Er du med på dette?

[Vektormannen]

Ja, ser ut som du henger med på bevisets gang. Når det gjelder mellomregningene så skjer følgende: Først utvides [tex](k+1)^3[/tex] til brøken [tex]\displaystyle \frac{4(k+1)^3}{4}[/tex], slik at den kan legges sammen med [tex]\displaystyle \frac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex] slik at vi får resultatet [tex]\displaystyle \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}[/tex]. I disse to leddene er [tex](k+1)^2[/tex] en felles faktor. Faktoriserer vi ut denne står vi igjen med [tex]k^2[/tex] i det første leddet og [tex]4(k+1)[/tex] i det andre. Med andre ord får vi [tex]\displaystyle \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}[/tex]. For å komme videre nå må vi få faktorisert faktoren til høyre. Vi har et håp om at det skal ende opp som [tex](k+2)^2 = (k+1+1)^2[/tex], ikke sant? Hvis vi husker på første kvadratsetning baklengs så ser vi at [tex]k^2 + 4k + 4 = k^2 + 2 \cdot 2 \cdot k + 2^2 = (k+2)^2[/tex]. Da ender vi altså opp med [tex]\displaystyle \frac{(k+1)^2(k+1+1)^2}{4}[/tex].

edit: too late :<

[Johan Nes]

Tusen takk, begge to.

Dere står i kø for å hjelpe til, ikke verst!

Jeg er for trøtt og dypt inne i noe annet akkurat nå, men skal studere det grundig i morgen tidlig og gi tilbakemelding da. Jeg MÅ forstår induksjonsbeviset innen eksamen.

[Johan Nes]

Ja, ser ut som du henger med på bevisets gang. Når det gjelder mellomregningene så skjer følgende: Først utvides [tex](k+1)^3[/tex] til brøken [tex]\displaystyle \frac{4(k+1)^3}{4}[/tex], slik at den kan legges sammen med [tex]\displaystyle \frac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex] slik at vi får resultatet [tex]\displaystyle \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}[/tex]. I disse to leddene er [tex](k+1)^2[/tex] en felles faktor. Faktoriserer vi ut denne står vi igjen med [tex]k^2[/tex] i det første leddet og [tex]4(k+1)[/tex] i det andre. Med andre ord får vi [tex]\displaystyle \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}[/tex]. For å komme videre nå må vi få faktorisert faktoren til høyre. Vi har et håp om at det skal ende opp som [tex](k+2)^2 = (k+1+1)^2[/tex], ikke sant? Hvis vi husker på første kvadratsetning baklengs så ser vi at [tex]k^2 + 4k + 4 = k^2 + 2 \cdot 2 \cdot k + 2^2 = (k+2)^2[/tex]. Da ender vi altså opp med [tex]\displaystyle \frac{(k+1)^2(k+1+1)^2}{4}[/tex].

edit: too late :<

Hei igjen,

Jeg forstår siste utregning, altså første kvadratsetning baklengs og hva som skjer fra nest siste til siste utregning og endelig svar.

Men jeg skjønner fortsatt ikke helt hvordan du kommer til tredje siste utregning, altså denne:

I disse to leddene er [tex](k+1)^2[/tex] en felles faktor. Faktoriserer vi ut denne står vi igjen med [tex]k^2[/tex] i det første leddet og [tex]4(k+1)[/tex] i det andre. Med andre ord får vi [tex]\displaystyle \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}[/tex].

Jeg ser at k^2 forsvinner fra første ledd og havner inne i parentesen samtidig som eksponenten 3 forsvinner, men er ikke helt med hva som skjer.

Algebraen min er direkte pinlig. Frykter at den er så dårlig at jeg ikke greier å gjennomføre et induksjonsbevis helt til slutt. Er dette 1T pensum?

[Vektormannen]

Ja, dette er 1T-pensum. Faktorisering går kort sagt ut på å skrive en sum om til et produkt. Det gjør man f.eks. ved å benytte at [tex]a(b+c) = ab + ac[/tex], som du sikkert kjenner til, baklengs. Et enkelt eksempel er [tex]x^3 + 3x[/tex]. Her er x en felles faktor i begge ledd. Da kan vi skrive om summen til [tex]x(x+3)[/tex]. Hvis vi ganger inn igjen ser vi at vi får [tex]x^2 + 3x[/tex], ikke sant? Kort sagt: se etter felles faktorer i begge ledd, ta denne faktoren utenfor en parentes der leddene er de faktorene som er igjen etter at du tok ut den felles faktoren. Tenk på at du skal få det samme tilbake igjen når du ganger ut.

Et eksempel: [tex]3x \sin x \cos x + 9 x^2 \sin x[/tex]. Først ser vi etter felles faktorer, og de ser vi er 3, x og [tex]\sin x[/tex]. Da vet vi at summen kan skrives som [tex]3 x \sin x(? + ?)[/tex], og vi må fylle ut det inni parentesen. I det første leddet blir faktoren [tex]\cos x[/tex] stående igjen. I det andre leddet blir faktorene 3 og [tex]x[/tex] stående igjen. Altså har vi: [tex]3x \sin x(\cos x + 3x)[/tex].

I denne oppgaven er det akkurat dette som blir gjort. [tex](k+1)^2[/tex] er en felles faktor i begge ledd. Hva blir igjen når denne faktoriseres ut? I det første leddet har vi [tex]k^2[/tex] igjen, og i det andre har vi 4 igjen, og [tex](k+1)[/tex] (husk at [tex](k+1)^3 = (k+1)(k+1)(k+1) = (k+1)^2(k+1)[/tex]). Dermed blir faktoriseringen her [tex](k+1)^2(k^2 + 4(k+1))[/tex].

[Johan Nes]

Genialt, Vektormannen. Jeg trodde jeg var den eneste som satt inne og regnet i dag.

Veldig godt forklart! Når er jeg med 100%.

Men om jeg får tak på dette frem til eksamen er et annet spørsmål, men det der var en fin oppfriskning i hvert fall. Må jobbe med algebraen min i sommer.

Ha en fin 17.mai!

[Vektormannen]

Nei, vi er nok to ja (har eksamen i morgen :/).

Hvis du får induksjonsbevis på eksamen og ikke klarer å fullføre det pga. algebraen så må du i alle fall skrive opp hvordan du ville gjort det og så heller skrive at du ikke får til detaljene. Da viser du at du i alle fall forstår prinsippet bak induksjon.

Takk, han en fin 17. mai du også.

[Johan Nes]

Nei, vi er nok to ja (har eksamen i morgen :/).

Hvis du får induksjonsbevis på eksamen og ikke klarer å fullføre det pga. algebraen så må du i alle fall skrive opp hvordan du ville gjort det og så heller skrive at du ikke får til detaljene. Da viser du at du i alle fall forstår prinsippet bak induksjon.

Takk, han en fin 17. mai du også.

God ide! Den hadde jeg ikke tenkt på!

Men har alt frisket opp og repetert litt, så jeg har litt troen.

Lykke til i morgen!

[Johan Nes]

Vel, jeg skjønner iallfall beviset, men jeg sliter fortsatt med algebraen.

Rett på sak.

k(k+1)(2k+1)+6*(k+1)^2

Felles faktor her er k+1, men det tok meg lang tid før jeg skjønte at det blir:

(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))

Regner ut:

(k+1)(2k^2+k+6k+6)

(k+1)(2k^2+7k+6)

Så blir fasiten:

(k+1)(k+2)(2k+3)

Kan noen vise meg hvordan man utleder (k+2)(2k+3) av (2k^2+7k+6)?

Jeg greier å regne det ut å se det i etterkant, men forstår ikke hvordan jeg skal komme frem til det selv.

Tror aldri jeg har egentlig vært bort i denne type algebra.

[Johan Nes]

Og til slutt. Er denne type algebra pinlig basic eller er den litt tricky?

Jeg gikk gjennom 1T boken i løpet av en kort måned, så det er mulig jeg var borti det, men uten mengdetreningen så sitter det ikke verdt fem flate øre.

[Aleks855]

Andregradsformelen.

[tex]2k^2+7k+6 = 0[/tex] gir løsningene [tex]k=-2[/tex] og [tex]k=-\frac32[/tex]

Vi faktoriserer andregradspolynomer på formen [tex]ax^2+bx+c[/tex] til [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] der [tex]x_1, \ x_2[/tex] er nullpunktene.

I ditt eksempel har vi nullpunktene [tex]-2[/tex] og [tex]-\frac32[/tex]

Altså: [tex]2k^2+7x+6 \ = \ 2(k+2)(k+\frac32)[/tex]

Ganger inn 2'ern i den andre parentesen og får [tex](k+2)(2k+3)[/tex]

[Johan Nes]

Ah. Genialt.

Den tenkte jeg ikke på en gang. Jeg trodde dette var en typisk Del 1 oppgave og ment å skulle løse mellomregningene på en enklere måte.

Gud velsigne deg.

[mikki155]

Det er en typisk del 1 oppgave. Nullpunktene finner du enkelt ved å sette inn verdier i andregradsformelen, og så bare faktorisere for svarene du finner slik Aleks gjorde.

PS: Noen må fikse forsiden.

[Johan Nes]

Yes, jeg må nok lære meg andregradsformelen også utenat.