Gauss' theorem

[mentalitet]

Trenger litt hjelp her:


Gjelder oppgave b. Jeg ville tro at man kunne bruke Gauss' theorem direkte,dvs. trippelintegrere divF over T men dette er tydeligvis feil.. jeg får 17*pi*sqrt(5), mens det endelige svaret skal være 8*pi*sqrt(5). Anyone?

[Vektormannen]

Merk at du blir bedt om å kun finne fluksen ut av den krumme delen. Har du tegnet en figur? Flaten din består av en krum del og to sirkulære "endeflater" som er parallelle med xy-planet og befinner seg i hhv [tex]z = 0[/tex] og [tex]z = \sqrt{5}[/tex]. Når du bruker divergensteoremet finner du den totale fluksen ut av hele den lukka flaten, altså summen av fluksen ut av den krumme delen, og fluksen ut av endeflatene.

[mentalitet]

Ah, ok. Jeg må altså trekke fra de to endeflatene? Kan jeg bruke divergensteoremet her også eller er det enklere å parametrisere og løse to dobbeltintegral?

[Vektormannen]

Her må du nok integrere over de to flatene ja, og trekke fra det du fant med divergensteoremet. Du kan ikke bruke divergensteoremet - det krever jo et lukket volum, og du finner ikke noe lukket volum som kun avgrenses av de to endeflatene!

[mentalitet]

Ok. Er dog fremdeles litt usikker på hvordan jeg skal sette opp de to integralene..Grensene er greie, men hvordan blir selve uttrykket? Dvs. hvordan blir F*n seende ut i de to tilfellene?

[Vektormannen]

De to flatene er parallelle med xy-planet, ikke sant? Da har de en normalvektor som peker i z-retning. Videre skal normalvektorene peke ut av flatene. Her er det veldig lurt å tegne en figur, som sagt. Hvilken retning har normalvektoren til flaten der [tex]z = 0[/tex]? Hvilken retning der [tex]z = \sqrt 5[/tex]? (Vi vet at de peker langs z-aksen, så det du må finne ut er om det er i positiv eller negativ z-retning).

[mentalitet]

Plottet det nå. Gitt at jeg har plottet rett må vel normalvektoren i z = 0 være pekende nedover(negativ) mens i z = sqrt(5) peke oppover(positiv). Men jeg er fremdeles usikker på hvordan jeg skal løse de faktiske integralene.

[Vektormannen]

Stemmer det

Hvis vi kaller flatene for [tex]S_1[/tex] (z = 0) og [tex]S_2[/tex] ([tex]z = \sqrt 5[/tex]) får vi henholdsvis [tex]\int \int_{S_1} \vec{F} \cdot (0, 0, -1) dS = \int \int_{S_1} (0 - x) (-1) dS = \int \int_{S_2} x dS[/tex] og (uten mellomregningen) [tex]\int \int_{S_2} \sqrt 5 - x dS[/tex]. Siden de to flatene er parallelle med xy-planet trenger vi ikke å tenke på noen parameterisering her; dS blir simpelthen dA = dx dy. Med andre ord har du nå de to "vanlige" dobbeltintegralene [tex]\int \int_{D_1} x dx dy[/tex] og [tex]\int int_{D_2} \sqrt 5 - x dx dy[/tex], der [tex]D_1[/tex] og [tex]D_2[/tex] er de to områdene i xy-planet som x og y går over i de to flatene. For [tex]S_1[/tex] er dette området simpelthen det samme; det er disken avgrenset av sirkelen [tex]0 = \sqrt{x^2 + y^2 - 4} \ \Leftrightarrow \ x^2 + y^2 = 4[/tex]. For [tex]S_2[/tex] får vi at området [tex]D_2[/tex] er disken avgrenset av sirkelen [tex]\sqrt 5 = \sqrt{x^2 + y^2 - 4} \ \Leftrightarrow \ x^2 + y^2 = 9[/tex]. Tar du resten nå? Siden områdene er sirkulære vil det være en god idé å bruke polarkoordinater.

[mentalitet]

Fikk det _endelig_ til nå, tusen hjertelig takk!!

[mentalitet]

Har et lite spm. til:

Hvordan kommer de fra tangentvektoren til enhetsvektoren?

[Vektormannen]

En enhetsvektor er simpelthen en vektor som har lengde 1. Du kan få en enhetsvektor i samme retning som en hvilken som helst (ikke 0-) vektor ved å dele vektoren på sin egen lengde. Lengden av vektoren her er [tex]|4\textbf j - 32\textbf k| = \sqrt{4^2 + 32^2} = 4 \sqrt{65}[/tex].

[mentalitet]

Skjønner ikke helt hvorfor dette blir feil - har gjort det på eksakt samme måte som i oppgaven tidligere postet. divF*volumet og så trekke fra fluksen ut gjennom toppen. sqrt(3)*r drdtetta, 0 < tetta < 2pi, 0 < r < 2

Er nederste oppg om det skulle være noen tvil!

[Vektormannen]

Hva får du, og hva skal det bli? Etter kjapp regning får jeg [tex]2\pi \sqrt 3[/tex].

[mentalitet]

Jeg får samme som deg. LF operer med 3pisqrt(3)