Gauss' theorem

[mentalitet]

Trenger litt hjelp her:


Gjelder oppgave b. Jeg ville tro at man kunne bruke Gauss' theorem direkte,dvs. trippelintegrere divF over T men dette er tydeligvis feil.. jeg får 17*pi*sqrt(5), mens det endelige svaret skal være 8*pi*sqrt(5). Anyone?

[Vektormannen]

Merk at du blir bedt om å kun finne fluksen ut av den krumme delen. Har du tegnet en figur? Flaten din består av en krum del og to sirkulære "endeflater" som er parallelle med xy-planet og befinner seg i hhv $z=0$ og $z=\sqrt{5}$. Når du bruker divergensteoremet finner du den totale fluksen ut av hele den lukka flaten, altså summen av fluksen ut av den krumme delen, og fluksen ut av endeflatene.

[mentalitet]

Ah, ok. Jeg må altså trekke fra de to endeflatene? Kan jeg bruke divergensteoremet her også eller er det enklere å parametrisere og løse to dobbeltintegral?

[Vektormannen]

Her må du nok integrere over de to flatene ja, og trekke fra det du fant med divergensteoremet. Du kan ikke bruke divergensteoremet - det krever jo et lukket volum, og du finner ikke noe lukket volum som kun avgrenses av de to endeflatene!

[mentalitet]

Ok. Er dog fremdeles litt usikker på hvordan jeg skal sette opp de to integralene..Grensene er greie, men hvordan blir selve uttrykket? Dvs. hvordan blir F*n seende ut i de to tilfellene?

[Vektormannen]

De to flatene er parallelle med xy-planet, ikke sant? Da har de en normalvektor som peker i z-retning. Videre skal normalvektorene peke ut av flatene. Her er det veldig lurt å tegne en figur, som sagt. Hvilken retning har normalvektoren til flaten der $z=0$? Hvilken retning der $z=\sqrt{5}$? (Vi vet at de peker langs z-aksen, så det du må finne ut er om det er i positiv eller negativ z-retning).

[mentalitet]

Plottet det nå. Gitt at jeg har plottet rett må vel normalvektoren i z = 0 være pekende nedover(negativ) mens i z = sqrt(5) peke oppover(positiv). Men jeg er fremdeles usikker på hvordan jeg skal løse de faktiske integralene.

[Vektormannen]

Stemmer det

Hvis vi kaller flatene for $S_1$ (z = 0) og $S_2$ ($z=\sqrt{5}$) får vi henholdsvis $\int {\int }_{S_1}\overrightarrow{F}\cdot (0,0,-1)dS=\int {\int }_{S_1}(0-x)(-1)dS=\int {\int }_{S_2}xdS$ og (uten mellomregningen) $\int {\int }_{S_2}\sqrt{5}-xdS$. Siden de to flatene er parallelle med xy-planet trenger vi ikke å tenke på noen parameterisering her; dS blir simpelthen dA = dx dy. Med andre ord har du nå de to "vanlige" dobbeltintegralene $\int {\int }_{D_1}xdxdy$ og $\int in{t}_{D_2}\sqrt{5}-xdxdy$, der $D_1$ og $D_2$ er de to områdene i xy-planet som x og y går over i de to flatene. For $S_1$ er dette området simpelthen det samme; det er disken avgrenset av sirkelen $0=\sqrt{x^2+y^2-4}\iff x^2+y^2=4$. For $S_2$ får vi at området $D_2$ er disken avgrenset av sirkelen $\sqrt{5}=\sqrt{x^2+y^2-4}\iff x^2+y^2=9$. Tar du resten nå? Siden områdene er sirkulære vil det være en god idé å bruke polarkoordinater.

[mentalitet]

Fikk det _endelig_ til nå, tusen hjertelig takk!!

[mentalitet]

Har et lite spm. til:

Hvordan kommer de fra tangentvektoren til enhetsvektoren?

[Vektormannen]

En enhetsvektor er simpelthen en vektor som har lengde 1. Du kan få en enhetsvektor i samme retning som en hvilken som helst (ikke 0-) vektor ved å dele vektoren på sin egen lengde. Lengden av vektoren her er $|4\mathbf{\text{j}}-32\mathbf{\text{k}}|=\sqrt{4^2+{32}^2}=4\sqrt{65}$.

[mentalitet]

Skjønner ikke helt hvorfor dette blir feil - har gjort det på eksakt samme måte som i oppgaven tidligere postet. divF*volumet og så trekke fra fluksen ut gjennom toppen. sqrt(3)*r drdtetta, 0 < tetta < 2pi, 0 < r < 2

Er nederste oppg om det skulle være noen tvil!

[Vektormannen]

Hva får du, og hva skal det bli? Etter kjapp regning får jeg $2\pi \sqrt{3}$.

[mentalitet]

Jeg får samme som deg. LF operer med 3pisqrt(3)