Funksjoner

[Arctagon]

«Consider the point (x, y) lying on the graph of the line 2x + 4y = 5. Let L be the distance from the point (x, y) to the origin (0, 0). Write L as a function of x.»

Det er ingen eksempler i boka om dette, så jeg vet ikke hvordan jeg skal gå fram.

[Aleks855]

Hint: https://db.tt/P9EXO74M

Ser du hvordan du kan regne ut $L$?

[Arctagon]

Jeg ser at [tex]L = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex], men jeg greier ikke å se for meg hvordan en gjør dette generelt for en rett linje.

[Aleks855]

Du har en likning med x og y. Løs dette for y = f(x)

Eett inn i uttrykket du har for L. Da vil du ha L som funksjon av kun x.

[Arctagon]

Aha, så det er det som menes med å skrive noe som en funksjon av noe annet. Jeg fikk samme svar som i fasit, [tex]L = \frac{\sqrt{20x^2 - 20x + 25}}{4}[/tex], men jeg ser ikke hvor origo passer inn i det hele.

[Aleks855]

Vel, $L$ er nå lengda mellom origo og punktet på linja $y = \frac{5-2x}{4}$

Eksempelvis, hvis du setter $x = 2$ så får du $y = 1/4$, og har da punktet $(2, \frac14)$

Nå vet vi at lengda fra origo til det punktet kan finnes ved å sette $x=2$ i uttrykket du har funnet for $L$.

[Arctagon]

Hvis punktet ikke hadde vært origo, men si (4, 0), da?

[Aleks855]

https://db.tt/TBlAxkdL

[Arctagon]

Så hvis grafen hadde hatt likningen [tex]y = \sqrt{x - 3}[/tex] og L hadde vært avstanden fra (x, y) til (4, 0), hadde L, som en funksjon av y, kunnet blitt skrevet som dette?

[tex]L = \sqrt{y^4 - y^2 + 1}[/tex]

[Aleks855]

https://db.tt/Wk0lkqSy

Litt hastete, men forhåpentligvis er det riktig. Eller i det minste forståelig.

[Arctagon]

Det ser både riktig og forståelig ut, sett at L er en funksjon av x. Jeg regnet ut L som en funksjon av y, men jeg brukte samme framgangsmetode, så jeg tror jeg fikk riktig også.

[Aleks855]

Jepp. Har ikke sjekka selv, men man kan selvfølgelig velge å bruke x(y) som funksjon, istedet for y(x).

[Arctagon]

Bruker samme emne.

«Let [tex]f(x) = \frac{x}{x - 2}[/tex]. Find a function [tex]y = g(x)[/tex] so that [tex](f \circ g)(x) = x[/tex].»

Så det kommer til å se ut som noe sånt som dette: [tex]x = \frac{g(x)}{g(x) - 2}[/tex]. Etter litt omskriving, kommer jeg hit: [tex]g(x) = \frac{g(x) + 2x}{x}[/tex], men jeg ser ikke hvordan jeg kan løse dette med hensyn på g(x).

[Aleks855]

Hvis du starter med å gange gjennom likninga med $g(x)-2$ så tror jeg det blir lettere.

[Arctagon]

Om du mener å gange begge sider med [tex]g(x) - 2[/tex], så var det det jeg gjorde.