Finn det ubestemte integralet

[rjkey]

Oppgaven er som følger:

[tex]\int (2x-1)*e^(2x) dx[/tex]

[tex]\int e^(2x)*(2x-1)=1/2*e^(2x)*(2x-1)-\int 1/2*e^(2x)*2[/tex]

Er det jeg har gjort så langt riktig?

Fullfør gjerne

Hint: Svaret skal bli [tex](x-1)e^(2x)+C[/tex]

Takk for all hjelp

e er opphøyd i 2x, ble litt merkelig når jeg la det inn i tex-editor

[Nebuchadnezzar]

Ser riktig ut så langt, for å skrive potenser kan du bruke hatten ^
altså e^{2x} ser bedre ut.

For å fullføre kan du sette konstantleddene utenfor å integrere $e^{2x}$ igjen som
du allerede vet hvordan du skal integrere (siden du gjorde det i den delvise integrasjonen din).
Men bare fortsett det ser helt rett ut.

Alternativt kan vi anta at svaret ditt blir et polynom av samme grad ganget med $e^{2x}$, altså at

$
\int (2x-1) e^{2x} \,\mathrm{d}x = (ax + b) e^{2x}
$

La oss først anta at dette stemmer. Da må vi finne ut verdien av $a$ og $b$. Ved å derivere begge sider fås

$
(2x-1) e^{2x} = a e^{2x}+2 (ax+b) e^{2x} = (2ax + a+2b)e^{2x}
$

Herfra ser vi at om sidene skal være like må $2ax = 2x$ så $a=1$. Og $-1 = a+2b$ så $b=-1$. Dermed så er

$
\int (2x-1) e^{2x} \,\mathrm{d}x = (x - 1) e^{2x} + \mathcal{C}
$

Som var det som skulle vises. Metoden ovenfor er ikke raskere for enkle polynomer som $x^2-1$ eller $2x+1$.
Men derimot for $x^4+1$ eller $x^8-1$ så blir det voldsomt mange delvise integrasjoner =)

**Grunnen til at vi tippet at polynomet ble av samme grad er at $[P(x) \cdot e^{x}]' = [P(x) + P'(x)] e^{x}$.
Som er av samme grad. Så når vi deriverer et polynom ganget med e opphøyet i noe får vi et polynom av samme grad.
Vi må dermed også få samme grad når vi integrerer.

[rjkey]

Takk for hjelpen Og takk for [tex]e^{2x}[/tex] hjelpen