Integrasjon via substitusjon

[millionaire]

http://bildr.no/view/YjlieUZ6

På bildet kan du se oppgaven og løsningen.
Takknemlig for hjelp

[Lektorn]

Hva har du prøvd selv?
Kan du metoden med substitusjon?

[Nebuchadnezzar]

anbefaler deg $u \mapsto x^2$, og deretter delbrøksoppspalting. Men du burde bare prøve noen enkle
susbtitusjoner først og se hva som skjer..

[millionaire]

Jeg kan litt, men det sitter ikke så godt. Blir bare rot. Jeg har f.eks prøvd å sette:
u=(1+x^2)^3
u^(1/3)=(1+x^2)

...dette førte meg ikke så langt. Så har jeg prøvd å sette u=X^3, du=3X^2.

[millionaire]

http://bildr.no/view/UFhZYzF5

Så langt kom jeg med u=x^2

[Nebuchadnezzar]

Kjempeflott, så langt er det 100% riktig!

Deretter kan du enten bruke delbrøksoppspalting eller algebra for å vise at

$ \hspace{1cm}
\frac{u}{(1+u)^3}
= \frac{(u+1)-1}{(1+u)^3}
= \frac{u+1}{(u+1)^3} - \frac{1}{(u+1)^3}
= \frac{1}{(u+1)^2} - \frac{1}{(u+1)^3}
$

Deretter kan du vise at

$ \hspace{1cm}
\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+a)^n}
= - \frac{1}{n-1} \frac{1}{(x+a)^{n+1}} + \mathcal{C}
$

For alle relle $a$ og alle naturlige $n$ ulik $1$. Bruk for eksempel $u \mapsto x+a$ for å vise dette. Det burde få oppgaven i mål =)
Vi kan selvsagt og skrive $\forall \: a \in \mathbb{R} \: \wedge \: n \in \mathbb{N} /\{1\}$ om vi vil trene på å bruke matematisk notasjon.

[millionaire]

Jeg forstod ikke hvor du fikk (u+1)-1 fra?

[Nebuchadnezzar]

$(u+1)-1 = u$. Smart triks. Om du ikke klarer å se slike ting bruk delbrøksoppspalting.

[millionaire]

Tusen takk, forstod nå