Bevis for random firkant

[hallapaadeg]

Nok en Geometri oppgave jeg sliter med.



Skal bevise "algebraisk" at produktet av arealene til [tex](\triangle AEB) * (\triangle DEC) = (\triangle DEA) * (\triangle BEC)[/tex]

Da prøver jeg slik:

[tex](\triangle AEB) = \frac{1}{2}ab*sin \beta[/tex]

[tex](\triangle DEC) = \frac{1}{2}dc * sin \beta[/tex]

[tex](\triangle AED) = \frac{1}{2}ad * sin \alpha[/tex]

[tex](\triangle BEC) = \frac{1}{2}bc * sin \alpha[/tex]

bevise at:

[tex](\triangle AEB) * (\triangle DEC) = (\triangle AED) * (\triangle BEC)[/tex] = >

[tex]\frac{1}{2}ab*sin \beta * \frac{1}{2}dc*sin \beta = \frac{1}{2}ad *sin \alpha * \frac{1}{2}bc * sin \alpha[/tex] =>

[tex]\frac{1}{4}abcd * sin \beta ^{2} = \frac{1}{4} abcd * sin \alpha ^{2}[/tex] =>

[tex]sin \beta^{2} = sin \alpha^{2}[/tex]

Hva nå ? D: Enten er det en eller annen "identitet" jeg mangler å kjenne til her, ellers var det kanskje det var en dum idè å prøve det med arealsetningen?

[Lektorn]

Ja, det er en sammenheng du ikke ser her.

Sinus til en vinkel er lik cosinus til en annen vinkel, og motsatt. Tegn grafene til sin(x) og cos(x) så vil du kanskje se det.

[hallapaadeg]

Har kun hatt trigonometri for 1T, og der lærer man egentlig bare å finne lengder og vinkler, ikke noe teori bak det hele.

Har surfet litt på nettet og ser at det finnes mange såkalte trigonometriske identiteter, men vet ikke hva jeg skal gjøre i dette tilfellet her

[Lektorn]

Hvis du ser på grafene ser du at de er helt like men litt forskjøvet i forhold til hverandre. Dette gir disse sammenhengene:

[tex]sin(x) = cos(90^{\circ}-x)[/tex]
[tex]cos(x) = sin(90^{\circ}-x)[/tex]

[hallapaadeg]

Jeg forstår, men jeg forstår ikke hvordan det kan få meg til å løse likningen. Klarer ikke helt å se for meg hva som foregår bak kulissene i trigonometriske funksjoner, det er vel mer R2 pensum.

Det er en eller annen gardin som er trukket for inne i hodet mitt =D

[Brahmagupta]

Sammenhengen du er ute etter er $\sin{\alpha}=\sin{(180-\alpha)}$.

[Lektorn]

Så litt for kjapt på oppgaven. Det er en annen sammenheng du skal se på, nemlig hvilke vinkler som har lik sinus-verdi.
Kjenner du til enhetssirkelen? Den er genial til å se denne sammenhengen.

[hallapaadeg]

Jeg har såvidt vært borte i enhetssirkelen, skjønner at jeg har en del å se frem til der.

Kanskje jeg burde finne en annen måte å bevise dette, og holde meg unna trigonometri til jeg forstår det skikkelig Noen tips til et annet enkelt bevis, eller ennå bedre, en enkel måte å fullføre beviset jeg har på gang?

[hallapaadeg]

Prøver noe enklere da;

Trekker høyden [tex]h_1[/tex] fra punkt B ned på linjen AC og høyden [tex]h_2[/tex] fra punkt D ned på linjen AC

Da blir arealene

(AEB) = [tex]\frac {a * h_1}{2}[/tex]

(BEC) = [tex]\frac{c * h_1}{2}[/tex]

(AED) = [tex]\frac{a * h_2}{2}[/tex]

(DEC) = [tex]\frac{c * h_2}{2}[/tex]

Skal bevise at (AEB) * (DEC) = (DEA) * (BEC)

[tex]\frac {a * h_1}{2} * \frac{c * h_2}{2} = \frac{a * h_2}{2} * \frac{c * h_1}{2}[/tex]

[tex]\frac{ach_1h_2}{4} = \frac{ach_1h_2}{4}[/tex]

[tex]1 = 1[/tex]

Er det et godkjent bevis?

[Lektorn]

Tja, du beviser jo ikke det oppgaven spør om da, men deler opp i 4 andre trekanter.

[hallapaadeg]

Wops, tegnet opp trekanten på nytt for meg selv og brukte helt andre bokstaver. Er det riktig nå?