Bevis for random firkant

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Nok en Geometri oppgave jeg sliter med.

Image

Skal bevise "algebraisk" at produktet av arealene til [tex](\triangle AEB) * (\triangle DEC) = (\triangle DEA) * (\triangle BEC)[/tex]

Da prøver jeg slik:

[tex](\triangle AEB) = \frac{1}{2}ab*sin \beta[/tex]

[tex](\triangle DEC) = \frac{1}{2}dc * sin \beta[/tex]

[tex](\triangle AED) = \frac{1}{2}ad * sin \alpha[/tex]

[tex](\triangle BEC) = \frac{1}{2}bc * sin \alpha[/tex]

bevise at:

[tex](\triangle AEB) * (\triangle DEC) = (\triangle AED) * (\triangle BEC)[/tex] = >

[tex]\frac{1}{2}ab*sin \beta * \frac{1}{2}dc*sin \beta = \frac{1}{2}ad *sin \alpha * \frac{1}{2}bc * sin \alpha[/tex] =>

[tex]\frac{1}{4}abcd * sin \beta ^{2} = \frac{1}{4} abcd * sin \alpha ^{2}[/tex] =>

[tex]sin \beta^{2} = sin \alpha^{2}[/tex]

Hva nå ? D: Enten er det en eller annen "identitet" jeg mangler å kjenne til her, ellers var det kanskje det var en dum idè å prøve det med arealsetningen?
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Ja, det er en sammenheng du ikke ser her.

Sinus til en vinkel er lik cosinus til en annen vinkel, og motsatt. Tegn grafene til sin(x) og cos(x) så vil du kanskje se det.
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Har kun hatt trigonometri for 1T, og der lærer man egentlig bare å finne lengder og vinkler, ikke noe teori bak det hele.

Har surfet litt på nettet og ser at det finnes mange såkalte trigonometriske identiteter, men vet ikke hva jeg skal gjøre i dette tilfellet her
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Hvis du ser på grafene ser du at de er helt like men litt forskjøvet i forhold til hverandre. Dette gir disse sammenhengene:

[tex]sin(x) = cos(90^{\circ}-x)[/tex]
[tex]cos(x) = sin(90^{\circ}-x)[/tex]
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Jeg forstår, men jeg forstår ikke hvordan det kan få meg til å løse likningen. Klarer ikke helt å se for meg hva som foregår bak kulissene i trigonometriske funksjoner, det er vel mer R2 pensum.

Det er en eller annen gardin som er trukket for inne i hodet mitt =D
Brahmagupta
Guru
Guru
Posts: 628
Joined: 06/08-2011 01:56

Sammenhengen du er ute etter er $\sin{\alpha}=\sin{(180-\alpha)}$.
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Så litt for kjapt på oppgaven. Det er en annen sammenheng du skal se på, nemlig hvilke vinkler som har lik sinus-verdi.
Kjenner du til enhetssirkelen? Den er genial til å se denne sammenhengen.
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Jeg har såvidt vært borte i enhetssirkelen, skjønner at jeg har en del å se frem til der.

Kanskje jeg burde finne en annen måte å bevise dette, og holde meg unna trigonometri til jeg forstår det skikkelig :P Noen tips til et annet enkelt bevis, eller ennå bedre, en enkel måte å fullføre beviset jeg har på gang? :D
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Prøver noe enklere da;

Trekker høyden [tex]h_1[/tex] fra punkt B ned på linjen AC og høyden [tex]h_2[/tex] fra punkt D ned på linjen AC

Da blir arealene

(AEB) = [tex]\frac {a * h_1}{2}[/tex]

(BEC) = [tex]\frac{c * h_1}{2}[/tex]

(AED) = [tex]\frac{a * h_2}{2}[/tex]

(DEC) = [tex]\frac{c * h_2}{2}[/tex]

Skal bevise at (AEB) * (DEC) = (DEA) * (BEC)

[tex]\frac {a * h_1}{2} * \frac{c * h_2}{2} = \frac{a * h_2}{2} * \frac{c * h_1}{2}[/tex]

[tex]\frac{ach_1h_2}{4} = \frac{ach_1h_2}{4}[/tex]

[tex]1 = 1[/tex]

Er det et godkjent bevis?
Last edited by hallapaadeg on 03/11-2014 16:41, edited 2 times in total.
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Tja, du beviser jo ikke det oppgaven spør om da, men deler opp i 4 andre trekanter.
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Wops, tegnet opp trekanten på nytt for meg selv og brukte helt andre bokstaver. Er det riktig nå? :D
Post Reply