Derivasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Heisann og godt nytt matematikkår!

Vi har funksjonen [tex]f(x)=10^x[/tex]

Ved hjelp av definisjonen til den deriverte, [tex]\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex], skal jeg finne [tex]f'(1)[/tex].

Blir ikke det:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex]

[tex]\frac{10^{1+h}-10^1}{h}[/tex]


?

Tydeligvis ikke. Egentlig skal jeg løse den i kode på MATLAB. Tror koden min er rett, men det er nok uttrykket som er galt, da jeg får samme svar på kalkulator. Svaret skal være tilnærmet 23,0259.

Valgte å kalle overskriften derivasjon ettersom jeg kanskje har flere spørsmål om det er stemning for det. :D

På forhånd takk!

Mvh

Johan Nes
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:

Hei, og godt nyttår :)

Det er ingenting galt med uttrykket ditt (når jeg tar f.eks. h = 0.0001 så får jeg 23.0285 på min kalkulator).
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Dette er fryktelig pinlig, Vektormannen.

Det ser ut som om det er koden min i MATLAB som var feil (parentesfeil). Satt med denne i over en time i går. Til slutt bestemte jeg meg for å ta kontroll på kalkulator, men fikk fortsatt feil, så det var da jeg faktisk trodde uttrykket var feil. Må ha ta en null for lite/mye i teller eller nevner.

Beklager bryderiet. :)
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Etter 50 derivasjonsoppgaver på rad begynte jeg å føle meg litt god, men traff på en liten nøtt her.

[tex]f(x)=x^3\sqrt{x}[/tex]

Jeg skrev denne om til:

[tex]x^\frac{7}{}2[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{7}{2}x^\frac{5}{2}[/tex] eller [tex]\frac{7}{2}\sqrt{x^5}[/tex]

Og dette skal jo være rett.

Men fasit skriver:

[tex]\frac{7}{2}x^2{\sqrt{x}}[/tex]

Noen som vet hvordan? :D
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 150
Joined: 12/06-2013 12:09
Location: Trondheim

Johan Nes wrote: [tex]f'(x)=\frac{7}{2}x^\frac{5}{2}[/tex] eller [tex]\frac{7}{2}\sqrt{x^5}[/tex]

Og dette skal jo være rett.

Men fasit skriver:

[tex]\frac{7}{2}x^2{\sqrt{x}}[/tex]
$f'(x) = \frac72 \sqrt{x^5} = \frac72 \sqrt{x^4\cdot x} = \frac72 \sqrt{x^4}\sqrt{x} = \frac72 x^2\sqrt{x}$ :)
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Ah...verre var det ikke! :)

Sjekket Wolframalpha og de skrev uttrykket slik jeg gjorde i mitt første forslag.

Hvorfor skriver fasiten det slik? Er det mer "korrekt" eller "penere"?
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Det er helt individuelt. Forfatteren av fasiten foretrekker det ene over det andre.
Image
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Thanks! Synes dog min/Wolframs måte er mer ryddig.

Ny nøtt! :)

[tex]g(x)=cos(x)tan(x)[/tex]

Jeg deriverer med kvotientregelen og får det samme uttrykket som Geogebra:

[tex]g'(x)=-sin(x)tan(x)+cos(x)+cos(x)tan^2(x)[/tex]

Fasiten greier imidlertid å forenkle dette uttrykket helt ned til:

[tex]g'(x)=cos(x)[/tex]

Regner med man bruker trigonometriske identiteter på en eller annen finurlig måte, men jeg kommer ikke noen vei. Har prøvd forskjellige metoder, men har enda ikke kommet i mål. Noen som tar den? :D
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

En annen nøtt:
Vis at konstanter kan settes utenfor i derivasjon: Hvis f(x) er deriverbar og k(x)=cf(x), så er k′(x)=cf′(x).
Kan jeg gjøre dette slik? Har jeg svart på oppgaven?

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cf(x+h)+cf(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}c*\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*f'(x)[/tex]

Takk! :)
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Johan Nes wrote:Thanks! Synes dog min/Wolframs måte er mer ryddig.

Ny nøtt! :)

[tex]g(x)=cos(x)tan(x)[/tex]

Jeg deriverer med kvotientregelen og får det samme uttrykket som Geogebra:

[tex]g'(x)=-sin(x)tan(x)+cos(x)+cos(x)tan^2(x)[/tex]

Fasiten greier imidlertid å forenkle dette uttrykket helt ned til:

[tex]g'(x)=cos(x)[/tex]

Regner med man bruker trigonometriske identiteter på en eller annen finurlig måte, men jeg kommer ikke noen vei. Har prøvd forskjellige metoder, men har enda ikke kommet i mål. Noen som tar den? :D
$\cos x \cdot \tan x = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$ og deriverer du dette så får du...
Image
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Johan Nes wrote:En annen nøtt:
Vis at konstanter kan settes utenfor i derivasjon: Hvis f(x) er deriverbar og k(x)=cf(x), så er k′(x)=cf′(x).
Kan jeg gjøre dette slik? Har jeg svart på oppgaven?

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cf(x+h)+cf(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}c*\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*f'(x)[/tex]

Takk! :)
Ja, det er fint å bruke regnereglene for grenseverdier her.
Image
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Takker, Aleks! :D
Post Reply