Derivasjon

[Johan Nes]

Heisann og godt nytt matematikkår!

Vi har funksjonen [tex]f(x)=10^x[/tex]

Ved hjelp av definisjonen til den deriverte, [tex]\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex], skal jeg finne [tex]f'(1)[/tex].

Blir ikke det:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex]

[tex]\frac{10^{1+h}-10^1}{h}[/tex]


?

Tydeligvis ikke. Egentlig skal jeg løse den i kode på MATLAB. Tror koden min er rett, men det er nok uttrykket som er galt, da jeg får samme svar på kalkulator. Svaret skal være tilnærmet 23,0259.

Valgte å kalle overskriften derivasjon ettersom jeg kanskje har flere spørsmål om det er stemning for det.

På forhånd takk!

Mvh

Johan Nes

[Vektormannen]

Hei, og godt nyttår

Det er ingenting galt med uttrykket ditt (når jeg tar f.eks. h = 0.0001 så får jeg 23.0285 på min kalkulator).

[Johan Nes]

Dette er fryktelig pinlig, Vektormannen.

Det ser ut som om det er koden min i MATLAB som var feil (parentesfeil). Satt med denne i over en time i går. Til slutt bestemte jeg meg for å ta kontroll på kalkulator, men fikk fortsatt feil, så det var da jeg faktisk trodde uttrykket var feil. Må ha ta en null for lite/mye i teller eller nevner.

Beklager bryderiet.

[Johan Nes]

Etter 50 derivasjonsoppgaver på rad begynte jeg å føle meg litt god, men traff på en liten nøtt her.

[tex]f(x)=x^3\sqrt{x}[/tex]

Jeg skrev denne om til:

[tex]x^\frac{7}{}2[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{7}{2}x^\frac{5}{2}[/tex] eller [tex]\frac{7}{2}\sqrt{x^5}[/tex]

Og dette skal jo være rett.

Men fasit skriver:

[tex]\frac{7}{2}x^2{\sqrt{x}}[/tex]

Noen som vet hvordan?

[MatIsa]

[tex]f'(x)=\frac{7}{2}x^\frac{5}{2}[/tex] eller [tex]\frac{7}{2}\sqrt{x^5}[/tex]

Og dette skal jo være rett.

Men fasit skriver:

[tex]\frac{7}{2}x^2{\sqrt{x}}[/tex]

$f'(x) = \frac72 \sqrt{x^5} = \frac72 \sqrt{x^4\cdot x} = \frac72 \sqrt{x^4}\sqrt{x} = \frac72 x^2\sqrt{x}$

[Johan Nes]

Ah...verre var det ikke!

Sjekket Wolframalpha og de skrev uttrykket slik jeg gjorde i mitt første forslag.

Hvorfor skriver fasiten det slik? Er det mer "korrekt" eller "penere"?

[Aleks855]

Det er helt individuelt. Forfatteren av fasiten foretrekker det ene over det andre.

[Johan Nes]

Thanks! Synes dog min/Wolframs måte er mer ryddig.

Ny nøtt!

[tex]g(x)=cos(x)tan(x)[/tex]

Jeg deriverer med kvotientregelen og får det samme uttrykket som Geogebra:

[tex]g'(x)=-sin(x)tan(x)+cos(x)+cos(x)tan^2(x)[/tex]

Fasiten greier imidlertid å forenkle dette uttrykket helt ned til:

[tex]g'(x)=cos(x)[/tex]

Regner med man bruker trigonometriske identiteter på en eller annen finurlig måte, men jeg kommer ikke noen vei. Har prøvd forskjellige metoder, men har enda ikke kommet i mål. Noen som tar den?

[Johan Nes]

En annen nøtt:

Vis at konstanter kan settes utenfor i derivasjon: Hvis f(x) er deriverbar og k(x)=cf(x), så er k′(x)=cf′(x).

Kan jeg gjøre dette slik? Har jeg svart på oppgaven?

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cf(x+h)+cf(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}c*\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*f'(x)[/tex]

Takk!

[Aleks855]

Thanks! Synes dog min/Wolframs måte er mer ryddig.

Ny nøtt!

[tex]g(x)=cos(x)tan(x)[/tex]

Jeg deriverer med kvotientregelen og får det samme uttrykket som Geogebra:

[tex]g'(x)=-sin(x)tan(x)+cos(x)+cos(x)tan^2(x)[/tex]

Fasiten greier imidlertid å forenkle dette uttrykket helt ned til:

[tex]g'(x)=cos(x)[/tex]

Regner med man bruker trigonometriske identiteter på en eller annen finurlig måte, men jeg kommer ikke noen vei. Har prøvd forskjellige metoder, men har enda ikke kommet i mål. Noen som tar den?

$\cos x \cdot \tan x = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$ og deriverer du dette så får du...

[Aleks855]

En annen nøtt:

Vis at konstanter kan settes utenfor i derivasjon: Hvis f(x) er deriverbar og k(x)=cf(x), så er k′(x)=cf′(x).

Kan jeg gjøre dette slik? Har jeg svart på oppgaven?

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cf(x+h)+cf(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}c*\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}[/tex]

[tex]k'(x)=c*f'(x)[/tex]

Takk!

Ja, det er fint å bruke regnereglene for grenseverdier her.

[Johan Nes]

Takker, Aleks!