Integralligning (Laplace)

[bamsemums]

Hadde en innlevering til i dag som jeg ikke fikk til. Noen som kan hjelpe meg?

$\large{y(t) + 2e^t \int_0^t e^{- \tau} y(\tau) \textrm{d}\tau = te^t}$

Jeg har prøvd å bruke regelen som sier at $(f \cdot g)(t) = \int_0^t f(t - \tau) g(\tau) \textrm{d}\tau$, og dermed fått:

$y(t) + 2e^t \cdot e^{-t} y(t) = te^t$

Som jo bare blir

$3y(t) = te^t$ og $y(t) = \frac{1}{3}te^t$


Jeg skjønner jo åpenbart at dette er feil, men jeg skjønner ikke hvorfor regelen ikke kan benyttes slik, og jeg skjønner heller ikke hvordan jeg heller skal gjøre det. Tips?

[Norm]

Tips: deriver hele uttrykket.

[bamsemums]

Takk for svar, men jeg tror jeg trenger litt mer hjelp. Hvis jeg deriverer med hensyn på $t$, så vet jeg ikke hva jeg skal gjøre med integralet, og hvis jeg deriverer med hensyn på $\tau$ så blir jo plutselig alt sammen konstanter som bare forsvinner..? Setter pris på om noen kunne gitt meg ytterligere tips.

[88 Klokkekløft]

[tex]y(t) + 2 \int_0^{t} {e}^{t-\tau } = te^t[/tex]

som gir

[tex]Y(1+\frac{2}{s-1}) = \frac{1}{(s-1)^2}[/tex]

Det gir da

[tex]Y = \frac{1}{((s-1)^2(2(s-1)))} = \frac{1}{(s^2 -2s +1)*(1+\frac{2}{s-1})}[/tex]

[tex]Y = \frac{1}{s^2-1} \rightarrow y(t) = sinh t[/tex]

[88 Klokkekløft]

[tex]y(t) + 2 \int_0^{t} {e}^{t-\tau } = te^t[/tex]

som gir

[tex]Y(1+\frac{2}{s-1}) = \frac{1}{(s-1)^2}[/tex]

Det gir da

[tex]Y = \frac{1}{((s-1)^2(2(s-1)))} = \frac{1}{(s^2 -2s +1)*(1+\frac{2}{s-1})}[/tex]

[tex]Y = \frac{1}{s^2-1} \rightarrow y(t) = sinh t[/tex]

Unnskyld, det skal være:

[tex]y(t) + 2 \int_0^{t} {e}^{t-\tau }*y(\tau ) = te^t[/tex]

I første delen altså