Integrasjon

[Guest]

Sliter litt med å integrere [tex]\frax{x^2}{x^2-4}[/tex] korrekt. Jeg bruker delbrøksoppspaltning, men får ikke fullkommen svar. Svaret mitt ble i hvertfall [tex][tex][/tex] -\ln(x+2)++ln(x-2)[/tex}. Men svaret skal inkludere + x også. Noen som kunne ha forklart hvorfor?

[Guest]

Skal stå [tex][tex][/tex] \frac{x^2}{x^2-4}

[Lektorn]

Hvordan har du løst oppgven, dvs. hvilken integrasjonsteknikk har du brukt?

Regner med integranden skal være $\frac {x^2}{x^2 - 4}$

[Barca]

Hvordan har du løst oppgven, dvs. hvilken integrasjonsteknikk har du brukt?

Regner med integranden skal være $\frac {x^2}{x^2 - 4}$

Riktig. Jeg brukte delbrøksoppsalting.

[tex]\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}[/tex]

[tex]A(x+2)+B(x-2)=x^2[/tex]
A=1
B=-1
Dermed fikk jeg [tex]ln(x-2)-ln(x+2)+C[/tex]
Men svaret skal inkludere +x. Jeg regner med det har noe med [tex]x^2[/tex] jeg gjør feil?

hva gjør jeg feil?

[Lektorn]

Delbrøkoppspaltingen din er feil. Prøv å trekke sammen brøkene så ser du at det blir feil.
Når telleren har like høy grad som nevneren må du enten utføre polynomdivisjon først, eller splitte opp med en ekstra nevner slik:
$\frac {x^2}{x^2 - 4} = \frac {A}{1} + \frac {B}{x+2} + \frac {C}{x-2}$

[Barca]

Delbrøkoppspaltingen din er feil. Prøv å trekke sammen brøkene så ser du at det blir feil.
Når telleren har like høy grad som nevneren må du enten utføre polynomdivisjon først, eller splitte opp med en ekstra nevner slik:
$\frac {x^2}{x^2 - 4} = \frac {A}{1} + \frac {B}{x+2} + \frac {C}{x-2}$

Jeg skjønner. Men hva er hensikten med å splitte opp med en ekstra nevner?
Hva skjer om telleren har høyere grad enn nevneren. Blir det samme utfall som nå?

[Lektorn]

Hensikten er å få et ledd med $x^2$ i telleren, noe du ikke klarer med bare to brøker.
Hvis teller har høyere grad og andre metoder ikke fungerer (f.eks. variabelskifte) må du utføre polynomdivisjonen og se hva du ender opp med. Hvis nevneren er grei å faktorisere vil dette trolig være en grei måte å komme i mål på.

[Barca]

Hensikten er å få et ledd med $x^2$ i telleren, noe du ikke klarer med bare to brøker.
Hvis teller har høyere grad og andre metoder ikke fungerer (f.eks. variabelskifte) må du utføre polynomdivisjonen og se hva du ender opp med. Hvis nevneren er grei å faktorisere vil dette trolig være en grei måte å komme i mål på.

Takk for hjelpen .

[Nebuchadnezzar]

Du kan for eksempel legge merke til at

$
\frac{x^2}{x^2 - 4} = \frac{(x^2-4) + 4}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} + \frac{4}{x^2 - 4}
$

På det siste uttrykket kan du bruke delbrøksoppspalting. Omskrivningen bir gjort av de grunnene som Lektoren nevner.