Rekker

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Har et par oppgaver her som fr meg til å føle meg ganske dum. Tror det finnes en veldig enkel fremgangsmåte for disse oppgavene. Disse er tatt fra kapittelet om rekker i sinus r2:

"Mari trenger daglig tilførsel av et bestemt legemiddel. Kroppen hennes skal ikke ha mer enn 10mg av et stoff som fins i legemiddelet. Legemiddelet er i tablettform, og hun tar en tablett om dagen. Hver tablett inneholder 0.6mg av dette stoffet. Hvor mange prosent av stoffet bør kroppen hennes bryte ned hver dag for at en tablett om dagen skal være forsvarlig?"

Jeg prøvde bl.a å sette opp dette som en rekke, og da fikk jeg, litt inspirert av en annen oppgave, en slags blanding av en vanlig aritmetisk rekke og en geometrisk rekke, noe sånt som

[tex]a_0 = 0.6[/tex]

[tex]a_1 = 0.6*x + 0.6[/tex] der x er tallet som representerer den prosenten jeg er ute etter å finne

[tex]a_2 = (0.6x + 0.6)x + 0.6[/tex]

[tex]a_3 = \left( (0.6x + 0.6)x + 0.6 \right ) x + 0.6[/tex]

[tex]a_n = x* a_{n-1} + 0.6[/tex]

Og dermed finne ut summen av dette, som ikke er bare bare ..?.. og dermed finne når den er < 10. Men jeg ser jo med en gang at det må finnes en uendelig mye lettere måte å løse dette på.

Jeg vet jo at formelen for summen av en konvergerende [tex]s = \frac{a_1}{1-k}[/tex] og har prøvd å bruke informasjonen til å finne en kvotient på denne måten uten særlig hell.

Jeg er helt lost. Har prøvd litt av hvert. Tenkte også det var mulig å løse den som en differensiallikning der jeg brukte "metoden" med logistisk vekst men det failet jeg også ganske hardt på :D

En nesten identisk oppgave jeg er like lost på er denne:

"En tablett inneholder en viss mengde av et virksomt stoff. Hver dag bryter kroppen ned 40% av denne stoffmengden. Gunnar tar en slik tablett hver dag. Kroppen skal ikke har mer enn 8mg av det virksomme stoffet. Hva er da den maksimale mengden hver tablett kan inneholde?"

Ønsker hint til hvordan jeg kan løse begge.
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Du må kanskje tenke litt "bak - frem" på denne oppgaven.

Ledd nr. 1 er som du skriver $0.6$, og dette er den siste tabletten hun tar (på morgenen den siste dagen om du vil).
Ledd nr. 2 er $0.6 \cdot k$ der $k$ er vekstfaktoren til nedbrytingen i kroppen. Dette leddet beskriver den tabeletten hun tok i går.
Ledd nr. 3 er $0.6 \cdot k^2$ og beskriver tabletten hun tok i forigårs.
Osv.

For at denne rekker skal gå mot en maksverdi må den konvergere, dvs. du kan bruke formelen for endelig sum for å finne $k$.

Den andre oppgaven regner jeg med faller på plass når du fikser den første? Hvis ikke er det bare å spørre igjen.
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Takk for hjelpen. Jeg ser at jeg får det samme svaret jeg har fått før, men jeg har ikke forstått det. Jeg setter opp ulikheten [tex]\frac{ \frac{3}{5} }{1-k} < 10[/tex] og får [tex]k < \frac{-47}{50}[/tex]. At dette kan tolkes som at kroppen må bryte ned 6% har jeg ikke forstått, sikkert fordi jeg ikke har hatt særlig prosentregning, eller at jeg løser ulikheten helt feil
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Har du ikke feil foregn på k-verdien din?
Husk at k'en du finner er en vekstfaktor, så du må oversette den til prosentvis oppgang eller nedgang.
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Fikk til den andre oppgaven også nå, takk for hjelpen!
Post Reply