Formel for x uttrykt ved a, y og b når y=a*b^2

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Arete
Noether
Noether
Posts: 43
Joined: 17/02-2015 22:58

Hei. Dette er tatt fra løsningsforslaget til eksempeloppgaven for matteeksamen i s1 2015. Kan noen hjelpe meg med å forstå første og andre linje i løsningen?

$$\eqalign{
& {\text{Bestem en formel for x uttrykt ved a }}{\text{, y og b når }}y = a \cdot {b^x} \cr
& y = a \cdot {b^x} \cr
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right) \cr
& x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}} \cr} $$
Fysikkmann97
Lagrange
Lagrange
Posts: 1258
Joined: 23/04-2015 23:19

Du får andre linje ved å dele begge sider på a.
Mattematika
Cayley
Cayley
Posts: 72
Joined: 15/05-2015 16:07

Arete wrote:Hei. Dette er tatt fra løsningsforslaget til eksempeloppgaven for matteeksamen i s1 2015. Kan noen hjelpe meg med å forstå første og andre linje i løsningen?

$$\eqalign{
& {\text{Bestem en formel for x uttrykt ved a }}{\text{, y og b når }}y = a \cdot {b^x} \cr
& y = a \cdot {b^x} \cr
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right) \cr
& x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}} \cr} $$
Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå
Arete
Noether
Noether
Posts: 43
Joined: 17/02-2015 22:58

Fysikkmann97 wrote:Du får andre linje ved å dele begge sider på a.
Hvis det stemmer så skjønner jeg ikke hvorfor de har fått y/a på høyre side. Det skulle isåfall vært omvendt.
Arete
Noether
Noether
Posts: 43
Joined: 17/02-2015 22:58

Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå
Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.
Mattematika
Cayley
Cayley
Posts: 72
Joined: 15/05-2015 16:07

Arete wrote:
Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå
Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.
Da skal jeg hjelpe deg :) bare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra :)
lorgikken

Mattematika wrote:
Arete wrote:
Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå
Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.
Da skal jeg hjelpe deg :) bare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra :)
y= a*b^x => b^x= y/a

3 = 2*4^2 => 4^2 = 3/2
Arete
Noether
Noether
Posts: 43
Joined: 17/02-2015 22:58

Mattematika wrote: Da skal jeg hjelpe deg :) bare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra :)
Jeg skjønner ikke hvordan de har fått
$$y = a \cdot {b^x}$$
til å bli:
$${b^x} = \frac{y}{a}$$

Ser heller ikke hvordan de har fått
$$x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right)$$
til å bli:
$$x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}}$$

Jeg har gjort ganske mange logaritmelikninger før men ikke av denne typen så jeg er ganske usikker her.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så

$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$

Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Mattematika
Cayley
Cayley
Posts: 72
Joined: 15/05-2015 16:07

Nebuchadnezzar wrote:Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så

$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$

Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
Endelig en som kan forklare bedre enn meg
Arete
Noether
Noether
Posts: 43
Joined: 17/02-2015 22:58

Nebuchadnezzar wrote:Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så

$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$

Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
Det gir mening. Jeg vet at det går an å bytte om på sidene av en likning, men jeg skjønte ikke helt hvorfor de hadde gjort det her, eller om det var en grunn til det i det hele tatt.
Når det gjelder siste del av likningen er jeg ikke 100% sikker. Men det virker som om vi bruker regelen ${a^x} = b \Leftrightarrow x = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$ uten å si noe sikkert. Det hadde hjulpet om du utvidet i detalj her og.
Fysikkmann97
Lagrange
Lagrange
Posts: 1258
Joined: 23/04-2015 23:19

Grunnen til at de får b^x på VS, er fordi de skal ha x uttrykt ved y, a og b. For å få x alene må man derfor få ned x-en og dele på lg b. Først da har man uttrykt x ved a, b og y.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Arete wrote:
Det gir mening. Jeg vet at det går an å bytte om på sidene av en likning, men jeg skjønte ikke helt hvorfor de hadde gjort det her, eller om det var en grunn til det i det hele tatt.
Når det gjelder siste del av likningen er jeg ikke 100% sikker. Men det virker som om vi bruker regelen ${a^x} = b \Leftrightarrow x = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$ uten å si noe sikkert. Det hadde hjulpet om du utvidet i detalj her og.
Ideen er at $\log x$ og $e^x$ er omvendte operasjoner (Man sier ofte at disse er inverse). Det betyr at $\log e^x = x$ og $e^{\log x} = x$.
Så dersom en tar logaritmen på begge sider av likningen får vi

$a^x = b \ \Leftarrow \ \log a^x = \log b \ \Leftarrow \ x \log a = \log b$

usw. Her ble det bare brukt at $\log x^y = y \log x$ som er en av de fundamentale egenskapene du bør vite at logaritmer har =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Arete
Noether
Noether
Posts: 43
Joined: 17/02-2015 22:58

Fysikkmann97 wrote:Grunnen til at de får b^x på VS, er fordi de skal ha x uttrykt ved y, a og b. For å få x alene må man derfor få ned x-en og dele på lg b. Først da har man uttrykt x ved a, b og y.
Mulig det er jeg som missforstår men, vi trenger ikke å snu på likningen slik du sier.
Det er jo akkurat det samme om vi får x på høyre eller venstre side.

Det er jo det samme om vi skriver:
$$\eqalign{
& \frac{y}{a} = {b^x} \cr
& \lg \frac{y}{a} = x\lg b \cr
& \frac{{\lg \left( {\frac{y}{a}} \right)}}{{\lg b}} = x \cr} $$

Eller om vi skriver
$$\eqalign{
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \frac{y}{a} \cr
& x = \frac{{\lg \left( {\frac{y}{a}} \right)}}{{\lg b}} \cr} $$
Fysikkmann97
Lagrange
Lagrange
Posts: 1258
Joined: 23/04-2015 23:19

Ja, men jeg forklarte bare hvorfor løsningsforslaget gjorde dette. Og det er fordi mange liker å ha x på venstre side. Om du ikke bytter side skal ikke ha noe å si.
Post Reply