Hei. Dette er tatt fra løsningsforslaget til eksempeloppgaven for matteeksamen i s1 2015. Kan noen hjelpe meg med å forstå første og andre linje i løsningen?
$$\eqalign{
& {\text{Bestem en formel for x uttrykt ved a }}{\text{, y og b når }}y = a \cdot {b^x} \cr
& y = a \cdot {b^x} \cr
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right) \cr
& x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}} \cr} $$
Formel for x uttrykt ved a, y og b når y=a*b^2
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Lagrange
- Posts: 1258
- Joined: 23/04-2015 23:19
Du får andre linje ved å dele begge sider på a.
-
- Cayley
- Posts: 72
- Joined: 15/05-2015 16:07
Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forståArete wrote:Hei. Dette er tatt fra løsningsforslaget til eksempeloppgaven for matteeksamen i s1 2015. Kan noen hjelpe meg med å forstå første og andre linje i løsningen?
$$\eqalign{
& {\text{Bestem en formel for x uttrykt ved a }}{\text{, y og b når }}y = a \cdot {b^x} \cr
& y = a \cdot {b^x} \cr
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right) \cr
& x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}} \cr} $$
Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå
-
- Cayley
- Posts: 72
- Joined: 15/05-2015 16:07
Da skal jeg hjelpe degArete wrote:Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå

Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra

y= a*b^x => b^x= y/aMattematika wrote:Da skal jeg hjelpe degArete wrote:Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forståbare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra
3 = 2*4^2 => 4^2 = 3/2
Jeg skjønner ikke hvordan de har fåttMattematika wrote: Da skal jeg hjelpe degbare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra
$$y = a \cdot {b^x}$$
til å bli:
$${b^x} = \frac{y}{a}$$
Ser heller ikke hvordan de har fått
$$x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right)$$
til å bli:
$$x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}}$$
Jeg har gjort ganske mange logaritmelikninger før men ikke av denne typen så jeg er ganske usikker her.
-
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så
$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$
Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så
$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$
Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Cayley
- Posts: 72
- Joined: 15/05-2015 16:07
Endelig en som kan forklare bedre enn megNebuchadnezzar wrote:Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så
$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$
Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
Det gir mening. Jeg vet at det går an å bytte om på sidene av en likning, men jeg skjønte ikke helt hvorfor de hadde gjort det her, eller om det var en grunn til det i det hele tatt.Nebuchadnezzar wrote:Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så
$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$
Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?
Når det gjelder siste del av likningen er jeg ikke 100% sikker. Men det virker som om vi bruker regelen ${a^x} = b \Leftrightarrow x = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$ uten å si noe sikkert. Det hadde hjulpet om du utvidet i detalj her og.
-
- Lagrange
- Posts: 1258
- Joined: 23/04-2015 23:19
Grunnen til at de får b^x på VS, er fordi de skal ha x uttrykt ved y, a og b. For å få x alene må man derfor få ned x-en og dele på lg b. Først da har man uttrykt x ved a, b og y.
-
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Ideen er at $\log x$ og $e^x$ er omvendte operasjoner (Man sier ofte at disse er inverse). Det betyr at $\log e^x = x$ og $e^{\log x} = x$.Arete wrote:
Det gir mening. Jeg vet at det går an å bytte om på sidene av en likning, men jeg skjønte ikke helt hvorfor de hadde gjort det her, eller om det var en grunn til det i det hele tatt.
Når det gjelder siste del av likningen er jeg ikke 100% sikker. Men det virker som om vi bruker regelen ${a^x} = b \Leftrightarrow x = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$ uten å si noe sikkert. Det hadde hjulpet om du utvidet i detalj her og.
Så dersom en tar logaritmen på begge sider av likningen får vi
$a^x = b \ \Leftarrow \ \log a^x = \log b \ \Leftarrow \ x \log a = \log b$
usw. Her ble det bare brukt at $\log x^y = y \log x$ som er en av de fundamentale egenskapene du bør vite at logaritmer har =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Mulig det er jeg som missforstår men, vi trenger ikke å snu på likningen slik du sier.Fysikkmann97 wrote:Grunnen til at de får b^x på VS, er fordi de skal ha x uttrykt ved y, a og b. For å få x alene må man derfor få ned x-en og dele på lg b. Først da har man uttrykt x ved a, b og y.
Det er jo akkurat det samme om vi får x på høyre eller venstre side.
Det er jo det samme om vi skriver:
$$\eqalign{
& \frac{y}{a} = {b^x} \cr
& \lg \frac{y}{a} = x\lg b \cr
& \frac{{\lg \left( {\frac{y}{a}} \right)}}{{\lg b}} = x \cr} $$
Eller om vi skriver
$$\eqalign{
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \frac{y}{a} \cr
& x = \frac{{\lg \left( {\frac{y}{a}} \right)}}{{\lg b}} \cr} $$
-
- Lagrange
- Posts: 1258
- Joined: 23/04-2015 23:19
Ja, men jeg forklarte bare hvorfor løsningsforslaget gjorde dette. Og det er fordi mange liker å ha x på venstre side. Om du ikke bytter side skal ikke ha noe å si.