Faktorisere fjerdegradspolynom

[hallapaadeg]

Noen som har tips til å faktorisere denne?

[tex]x^{4} -2x^{3} + 5x^{2} - 2x +4[/tex]

vet at den kan faktoriseres til

[tex](x^{2}+1)(x^{2} -2x +4)[/tex]

men jeg klarer ikke se hvordan

[Nebuchadnezzar]

$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + \color{blue}{5x^2} − \color{green}{2x} + 4
& = (x^4+\color{blue}{x^2}) − (2x^3 + \color{green}{2x}) + (\color{blue}{4x^2} + 4) \\
& = (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot x^2 - (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 2x + (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 4 \\
& = (\color{red}{x^2 + 1})( x^2 - 2x + 4)
\end{align*}
$

Alternativt kan en anta at

$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + 5x^2 − 2x + 4
& = (x^2 + b x + c)(x^2 + d x + e) \\
& = x^4+(b+d) \cdot x^3+(b d+c+e) \cdot x^2+(b e+c d) \cdot x + c e \\
\end{align*}
$

Som ved å sammenlikne koeffisienter leder til likningssystemet

$
\begin{align*}
b + d & = -2 \\
b \cdot d + c + e & = \phantom{-}5 \\
b e + c d & = - 2 \\
c e & = \phantom{-}4
\end{align*}
$

Alternativt dersom du vet at $x^2 + 1$ er en faktor kan du bruke polynomdivisjon.

[hallapaadeg]

Se der ja. Takk for hjelp

[kreativitetNO]

Noen som har tips til å faktorisere denne?

[tex]x^{4} -2x^{3} + 5x^{2} - 2x +4[/tex]

vet at den kan faktoriseres til

[tex](x^{2}+1)(x^{2} -2x +4)[/tex]

men jeg klarer ikke se hvordan

Hvis spørsmålet er formulert som: "Vis at [tex]X^{4}-2...[/tex] kan faktoriseres som [tex](x^{2}+1)(x^{2}...)[/tex]", er polynomdivisjon veien å gå

[jomath]

Hei!

De 4 ligningene med 4 ukjente er vel ikke så lette å løse, pga innslag av multiplikasjon av koeffisientene. Du havner i høyeregradsligninger der også...