Noen som har tips til å faktorisere denne?
[tex]x^{4} -2x^{3} + 5x^{2} - 2x +4[/tex]
vet at den kan faktoriseres til
[tex](x^{2}+1)(x^{2} -2x +4)[/tex]
men jeg klarer ikke se hvordan
Faktorisere fjerdegradspolynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + \color{blue}{5x^2} − \color{green}{2x} + 4
& = (x^4+\color{blue}{x^2}) − (2x^3 + \color{green}{2x}) + (\color{blue}{4x^2} + 4) \\
& = (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot x^2 - (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 2x + (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 4 \\
& = (\color{red}{x^2 + 1})( x^2 - 2x + 4)
\end{align*}
$
Alternativt kan en anta at
$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + 5x^2 − 2x + 4
& = (x^2 + b x + c)(x^2 + d x + e) \\
& = x^4+(b+d) \cdot x^3+(b d+c+e) \cdot x^2+(b e+c d) \cdot x + c e \\
\end{align*}
$
Som ved å sammenlikne koeffisienter leder til likningssystemet
$
\begin{align*}
b + d & = -2 \\
b \cdot d + c + e & = \phantom{-}5 \\
b e + c d & = - 2 \\
c e & = \phantom{-}4
\end{align*}
$
Alternativt dersom du vet at $x^2 + 1$ er en faktor kan du bruke polynomdivisjon.
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + \color{blue}{5x^2} − \color{green}{2x} + 4
& = (x^4+\color{blue}{x^2}) − (2x^3 + \color{green}{2x}) + (\color{blue}{4x^2} + 4) \\
& = (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot x^2 - (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 2x + (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 4 \\
& = (\color{red}{x^2 + 1})( x^2 - 2x + 4)
\end{align*}
$
Alternativt kan en anta at
$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + 5x^2 − 2x + 4
& = (x^2 + b x + c)(x^2 + d x + e) \\
& = x^4+(b+d) \cdot x^3+(b d+c+e) \cdot x^2+(b e+c d) \cdot x + c e \\
\end{align*}
$
Som ved å sammenlikne koeffisienter leder til likningssystemet
$
\begin{align*}
b + d & = -2 \\
b \cdot d + c + e & = \phantom{-}5 \\
b e + c d & = - 2 \\
c e & = \phantom{-}4
\end{align*}
$
Alternativt dersom du vet at $x^2 + 1$ er en faktor kan du bruke polynomdivisjon.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Ramanujan
- Innlegg: 297
- Registrert: 24/04-2014 14:33
- Sted: Cyberspace
Se der ja. Takk for hjelp
-
- Cayley
- Innlegg: 52
- Registrert: 20/08-2015 15:47
Hvis spørsmålet er formulert som: "Vis at [tex]X^{4}-2...[/tex] kan faktoriseres som [tex](x^{2}+1)(x^{2}...)[/tex]", er polynomdivisjon veien å gåhallapaadeg skrev:Noen som har tips til å faktorisere denne?
[tex]x^{4} -2x^{3} + 5x^{2} - 2x +4[/tex]
vet at den kan faktoriseres til
[tex](x^{2}+1)(x^{2} -2x +4)[/tex]
men jeg klarer ikke se hvordan
Hei!
De 4 ligningene med 4 ukjente er vel ikke så lette å løse, pga innslag av multiplikasjon av koeffisientene. Du havner i høyeregradsligninger der også...
De 4 ligningene med 4 ukjente er vel ikke så lette å løse, pga innslag av multiplikasjon av koeffisientene. Du havner i høyeregradsligninger der også...