Kontinuerlig

[euroshopper]

Hvordan skal jeg vise at den er kontinuerlig? Jeg ser jo at den er kontinuerlig i alle punkter uten om x=0 fordi, $\ln (1+\sqrt{x})$ alltid er >0 og sin(1/x) er definert for alle x uten om x=0, men hvordan kan man vise det?

På forhånd takk!

[Aleks855]

Vis at $\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+\sqrt{|x|}\sin \frac{1}{x}=0$ fra både høyre og venstre.

[Gustav]

hint 2: Lurt å bruke skvisteoremet her.

[aerce]

Vil bare legge til at det du må kunne for å løse oppgaven er teorem 4 på side 71 i Calculus 1 og definisjon 4 på side 79. Definisjon 4 sier hva må til for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt, og teorem 4 viser skviseteoremet som du må bruke for å bevise definisjon 4. Pluss tenk på enhetssirkelen, håper det hjelper.

[Charlie]

Vil bare legge til at det du må kunne for å løse oppgaven er teorem 4 på side 71 i Calculus 1 og definisjon 4 på side 79. Definisjon 4 sier hva må til for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt, og teorem 4 viser skviseteoremet som du må bruke for å bevise definisjon 4. Pluss tenk på enhetssirkelen, håper det hjelper.

Jeg skjønner at jeg må bruke skvisteoremet og vise til at det finnes en verdi som er større og en verdi som er mindre enn null, altså hvis vi setter sin 1/x=1 og -1, disse to funksjonene vil nærme seg verdien null, akkurat som funksjonen vi har i utgangspunktet.
Problemet mitt er hvordan jeg skal formulere meg riktig, eller rettere sagt hvordan skal svaret skrives matematisk riktig?

[MatIsa]

Vil bare legge til at det du må kunne for å løse oppgaven er teorem 4 på side 71 i Calculus 1 og definisjon 4 på side 79. Definisjon 4 sier hva må til for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt, og teorem 4 viser skviseteoremet som du må bruke for å bevise definisjon 4. Pluss tenk på enhetssirkelen, håper det hjelper.

Jeg skjønner at jeg må bruke skvisteoremet og vise til at det finnes en verdi som er større og en verdi som er mindre enn null, altså hvis vi setter sin 1/x=1 og -1, disse to funksjonene vil nærme seg verdien null, akkurat som funksjonen vi har i utgangspunktet.
Problemet mitt er hvordan jeg skal formulere meg riktig, eller rettere sagt hvordan skal svaret skrives matematisk riktig?

For alle $x\ne 0$ vet vi at $-1\le \sin \frac{1}{x}\le 1$. Ettersom $\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)\ge 0$ for alle $x\in \mathbb{R}$, kan vi gange hele ulikheten med dette. Dette gir $-\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)\le f(x)\le \ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)$. Vet du hvordan du kan fortsette?

[Charlie]

Vil bare legge til at det du må kunne for å løse oppgaven er teorem 4 på side 71 i Calculus 1 og definisjon 4 på side 79. Definisjon 4 sier hva må til for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt, og teorem 4 viser skviseteoremet som du må bruke for å bevise definisjon 4. Pluss tenk på enhetssirkelen, håper det hjelper.

Jeg skjønner at jeg må bruke skvisteoremet og vise til at det finnes en verdi som er større og en verdi som er mindre enn null, altså hvis vi setter sin 1/x=1 og -1, disse to funksjonene vil nærme seg verdien null, akkurat som funksjonen vi har i utgangspunktet.
Problemet mitt er hvordan jeg skal formulere meg riktig, eller rettere sagt hvordan skal svaret skrives matematisk riktig?

For alle $x\ne 0$ vet vi at $-1\le \sin \frac{1}{x}\le 1$. Ettersom $\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)\ge 0$ for alle $x\in \mathbb{R}$, kan vi gange hele ulikheten med dette. Dette gir $-\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)\le f(x)\le \ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)$. Vet du hvordan du kan fortsette?

Skal jeg løse ulikheten?

[MatIsa]

Skal jeg løse ulikheten?

Du ønsker å vise at $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$. Skviseteoremet sier at dersom $g(x)\le f(x)\le h(x)$ for $x\in \mathbb{R}$, og $\underset{x\to c}{lim}g(x)=\underset{x\to c}{lim}h(x)=L$, så er $\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$ (grafen til $g$ "skvises" mellom $f$ og $h$.) Hva er $\underset{x\to 0}{lim}\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)$?

[Charlie]

Skal jeg løse ulikheten?

Du ønsker å vise at $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$. Skviseteoremet sier at dersom $g(x)\le f(x)\le h(x)$ for $x\in \mathbb{R}$, og $\underset{x\to c}{lim}g(x)=\underset{x\to c}{lim}h(x)=L$, så er $\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$ (grafen til $g$ "skvises" mellom $f$ og $h$.) Hva er $\underset{x\to 0}{lim}\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)$?

0

[MatIsa]

0

Riktig, og du vet at $-\underset{x\to 0}{lim}\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)\le \underset{x\to 0}{lim}f(x)\le \underset{x\to 0}{lim}\ln \left(\sqrt{1+|x|}\right)$. Hva kan du da si om $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$?

[euroshopper]

Hvordan skal man vise at den er kontinuerlig? I boken står det definitionen $\underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)$ Med skivs teoremet har jeg vist at $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$ Hvis jeg setter inn $f(0)$ blir den vel bare udefinert?

[Guest]

Hvordan skal man vise at den er kontinuerlig? I boken står det definitionen $\underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)$ Med skivs teoremet har jeg vist at $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$ Hvis jeg setter inn $f(0)$ blir den vel bare udefinert?

Hva om du prøver å sette inn for nesten null da? Du jobber med grenseverdier så x blir aldri helt 0.

[euroshopper]

Hvordan skal man vise at den er kontinuerlig? I boken står det definitionen $\underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)$ Med skivs teoremet har jeg vist at $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$ Hvis jeg setter inn $f(0)$ blir den vel bare udefinert?

Hva om du prøver å sette inn for nesten null da? Du jobber med grenseverdier så x blir aldri helt 0.

Da blir det jo $0\ast \pm 1=0$ Er det liksom nok?

[Guest]

Hvordan skal man vise at den er kontinuerlig? I boken står det definitionen $\underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)$ Med skivs teoremet har jeg vist at $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$ Hvis jeg setter inn $f(0)$ blir den vel bare udefinert?

Hva om du prøver å sette inn for nesten null da? Du jobber med grenseverdier så x blir aldri helt 0.

Da blir det jo $0\ast \pm 1=0$ Er det liksom nok?

Ikke $\pm$ 1 siden du vet ikke hvordan sinus svinger for veldig store verdier så det er vel heller bare 0*noe mellom 1 og 0. Også må du jo argumentere for at det blir sånn ut ifra skvisteoremet right?
ellers ville Jeg liksom trodd det