Middelverditeoremet - sinx/x>cosx

[bakken91]

Hallo, trenger litt hjelp med denne oppgaven



Har prøvd følgende:

MVT:

[tex]\frac{f(b)-f(a)))}{b-a}=f'(c) => \frac{\frac{sin(pi))}{pi}-\frac{sin(x))}{x}}{pi-x} = \frac{-sin(x)}{x(pi-x)}=\frac{\alpha cos(\alpha )-sin(\alpha )}{\alpha ^2}[/tex]

Men er usikker på hva jeg skal gjøre etter dette, eventuelt om dette er riktig i det hele tatt.

Tusen takk!

[Brahmagupta]

Du gjør det nok litt vanskelig for deg selv her!

La $f(x)=\sin{x}$ og benytt middelverdisetningen med $a=0$ og $b=x$.
Ser du nå hvordan du kan oppnå den siste ulikheten?

[ThomasSkas]

Jeg prøvde meg også på denne, og etter å ha satt inn litt her og der ved hjelp av sekantsetningen, så endte jeg opp med

sin(x)/x > cos(x)-1
Jeg forstår heller ikke hvordan man kan ta i bruk denne setningen hehe, men det gjenstår å stå på.

[Brahmagupta]

\[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{x}-\sin{0}}{x-0}=(\sin{c})'=\cos{c}>\cos{x} \]

Den siste overgangen fungerer siden $c\in (0,x)$ og $\cos{x}$ er strengt avtagende
på dette intervallet.

[ThomasSkas]

\[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{x}-\sin{0}}{x-0}=(\sin{c})'=\cos{c}>\cos{x} \]

Den siste overgangen fungerer siden $c\in (0,\pi)$ og $\cos{x}$ er strengt avtagende
på dette intervallet.

Nå falt jeg ut her.
Hvor er det vi starter, og er dette på en måte bare slutten av løsningen
/beviset?

[ThomasSkas]

\[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{x}-\sin{0}}{x-0}=(\sin{c})'=\cos{c}>\cos{x} \]

Den siste overgangen fungerer siden $c\in (0,\pi)$ og $\cos{x}$ er strengt avtagende
på dette intervallet.

Nå falt jeg ut her.
Hvor er det vi starter, og er dette på en måte bare slutten av løsningen
/beviset?

Jeg gjorde følgende nå:

Setter f = sin(x), b= x og a = 0

Bruker sekantsetningen og får:

(f(x)-f(0))/(x-0) = cos (c)

(sin(x)-sin(0))/x = cos (c)

sin(x)/x = cos (c)

Sorry for null lateks, jeg fikk den ikke til å funke her, men jeg ser at jeg ikke er på noen vei her.

[ThomasSkas]

??

[zell]

Ikke helt sikker, men prøver meg likevel.

Du har
[tex]\frac{\sin{x}}{x} > \cos{x} \ \stackrel{x>0}{\Rightarrow} \ \sin{x} > x\cos{x}[/tex]

Middelverditeoremet sier at:
[tex]f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex] for [tex]x\in[a,b][/tex] for en eller annen [tex]c \in (a,b)[/tex]

Tar venstre side:

[tex]f^\prime (c) = \frac{\sin{\pi}-\sin{0}}{\pi -0} = 0[/tex]

Høyre side:

[tex]f^\prime (c) = \frac{\pi\cos{\pi}-0\cos{0}}{\pi-0} = -1[/tex]

Ergo: [tex]\frac{\sin{x}}{x} > \cos{x}[/tex]

[Brahmagupta]

Du er nesten helt i mål! Det eneste du trenger å vise nå er at $\cos{c}>\cos{x}$.
Vi vet at $c\in (0,x)$ og $x\in[0,\pi]$, eller ekvivalent $0<c<x\leq\pi$. Som jeg
skrev i innlegget tidligere så er $\cos{x}$ strengt avtagende på intervallet $[0,\pi]$.
Ser du hvorfor ulikheten over følger fra dette?

[ThomasSkas]

Du er nesten helt i mål! Det eneste du trenger å vise nå er at $\cos{c}>\cos{x}$.
Vi vet at $c\in (0,x)$ og $x\in[0,\pi]$, eller ekvivalent $0<c<x\leq\pi$. Som jeg
skrev i innlegget tidligere så er $\cos{x}$ strengt avtagende på intervallet $[0,\pi]$.
Ser du hvorfor ulikheten over følger fra dette?

hehe, mente du at Zell eller jeg er nesten i mål der? (Sikkert Zell)
Hmm, jeg er litt blank på spørsmålet om hvorfor ulikheten følger fra det, men jeg vet at cosinus kan maks. bli lik 1 og min. bli -1.

[Brahmagupta]

Jeg mente deg! Du har vist at $\sin{x}/x=\cos{c}$ hvor $0<c<x$, og videre
ønsker du å vise at $\cos{c}>\cos{x}$. Tegn opp grafen til cosinus mellom
$0$ og $\pi$. Hvis $c<x$ må det ikke da være slik at $\cos{c}>\cos{x}$?

[ThomasSkas]

Jeg mente deg! Du har vist at $\sin{x}/x=\cos{c}$ hvor $0<c<x$, og videre
ønsker du å vise at $\cos{c}>\cos{x}$. Tegn opp grafen til cosinus mellom
$0$ og $\pi$. Hvis $c<x$ må det ikke da være slik at $\cos{c}>\cos{x}$?

Jo, det har du rett i. Jeg tegnet i GG nå, også tenkte jeg at f. eks c = 1 og x = 2.
Da ser jeg c gir at cosinus er mellom 0 og 1, mens x = 2 gir at cosinus er mellom 0 og -1.
Altså, sagt bedre kanskje, jeg ser at den tenkte c-verdien gir en positiv verdi for cosinus, og x-verdien gir negativ verdi for cosinus.
Dette er noe jeg tenker at er veldig nødvendig å skrive opp.
Men hva må man skrive opp etter det?
eller avslutter man med å si at ulikheten er dermed vist?

[Brahmagupta]

Det formelle argumentet er at siden $\cos{t}$ er strengt avtagende på $[0,\pi]$
(den deriverte $-\sin{t}$ er negativ på $(0,\pi)$), så vil $c<x$ implisere at $\cos{c}>\cos{x}$.
Dette er ikke noe spesielt for cosinus, men gjelder for alle avtagende funksjoner.

Det er ikke slik at $\cos{x}$ må være negativ, men du kan se fra grafen at så lenge
$c<x$, så vil alltid punktet $(c,\cos{c})$ ligge høyere enn $(x,\cos{x})$.

[ThomasSkas]

Det formelle argumentet er at siden $\cos{t}$ er strengt avtagende på $[0,\pi]$
(den deriverte $-\sin{t}$ er negativ på $(0,\pi)$), så vil $c<x$ implisere at $\cos{c}>\cos{x}$.
Dette er ikke noe spesielt for cosinus, men gjelder for alle avtagende funksjoner.

Det er ikke slik at $\cos{x}$ må være negativ, men du kan se fra grafen at så lenge
$c<x$, så vil alltid punktet $(c,\cos{c})$ ligge høyere enn $(x,\cos{x})$.

Mhm, det virker fornuftig. Jeg skjønner at det sistnevnte også stemmer for intervallet.
Men siden det jeg har gjort er korrekt/litt riktig

https://gyazo.com/c413ff19a18fa3f3d850b8c8b7d02add

Det jeg lurer på, er hvordan jeg avslutter det?
Altså, skal jeg formulere dette du har sagt, og deretter avslutte med å konstatere at likheten er vist, eller er det noe mer konkret matematisk å gjøre?