- 12047713_892868400793416_1099160548_n.jpg (21.73 KiB) Viewed 2759 times
En arbitrær funksjon på intervall I
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei! Har fått denne oppgaven. Hintet er jo at man skal benytte definisjonen av den deriverte, men så langt har jeg ikke kommet lengre enn å se at høyresiden kan bli 2K(a-b), som jo er en konstant. Her tenker jeg skviseteoremet, men jeg aner ikke hva jeg skal gjøre med venstresiden. Hvordan bruke definisjonen av den deriverte på dette?
Er ikke helt stø i dette selv, men kan det tenkes at noe sånt funker?
Vi er altså gitt $\mid f(a)-f(b) \mid\leq K\mid a-b\mid^2$. Definisjonen av den deriverte er $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Men for funksjonen vår i $I$ er $f(x+h)-f(x)\leq K\mid h\mid^2$, så $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq\lim_{h\rightarrow 0}\frac{K\mid h\mid^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\pm K\mid h\mid=0$. Altså er $f'(x)=0$ i det aktuelle intervallet, og dermed er $f$ konstant.
Vi er altså gitt $\mid f(a)-f(b) \mid\leq K\mid a-b\mid^2$. Definisjonen av den deriverte er $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Men for funksjonen vår i $I$ er $f(x+h)-f(x)\leq K\mid h\mid^2$, så $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq\lim_{h\rightarrow 0}\frac{K\mid h\mid^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\pm K\mid h\mid=0$. Altså er $f'(x)=0$ i det aktuelle intervallet, og dermed er $f$ konstant.
Nei, ikke helt. Absoluttverdien er viktig for konklusjonen. Vi har atFlaw wrote:Er det dog riktig at vi bare kan ta bort absolutt-tegnet på venstresiden?stensrud wrote:Jepp, $a\rightarrow x+h$ og $b\rightarrow x$, slik at $a-b=h$.
$|f'(x)|=|\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}|=\lim_{h\to 0}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{|h|}\leq \lim_{h\to 0}K|h| = 0$, dermed er $f'(x)=0$. Den andre overgangen er riktig fordi funksjonen g(x)=|x| er kontinuerlig.
Men har vi ikke da egentlig kun vist at [tex]|f'(x)|\leq 0\;\Leftrightarrow -f'(x)\leq 0 \leq f'(x)[/tex]?
Hva står da i veien for at den deriverte da f.eks. er 2 istedenfor 0? Ulikheten er jo fremdeles overholdt?
Eller blir det slik at, siden vi har absolutt-tegn på begge sider av ulikheten, så følger det:
[tex]|f'(x)|\leq K\lim_{h\to 0}|h|\;\Leftrightarrow\;K\lim_{h\to 0}-h\leq -f'(x)\leq K\lim_{h\to 0}h\;\vee\;K\lim_{h\to 0}-h\leq f(x)\leq K\lim_{h\to 0}h\;\Rightarrow\;f'(x)=0[/tex]
Jeg sliter litt med å forstå hvordan man kommer til konklusjonen om den deriverte ut fra et uttrykk som sier noe om den absolutte til definisjonen av den deriverte. Jeg ser jo hvordan det må stemme grafisk, men...
Hva står da i veien for at den deriverte da f.eks. er 2 istedenfor 0? Ulikheten er jo fremdeles overholdt?
Eller blir det slik at, siden vi har absolutt-tegn på begge sider av ulikheten, så følger det:
[tex]|f'(x)|\leq K\lim_{h\to 0}|h|\;\Leftrightarrow\;K\lim_{h\to 0}-h\leq -f'(x)\leq K\lim_{h\to 0}h\;\vee\;K\lim_{h\to 0}-h\leq f(x)\leq K\lim_{h\to 0}h\;\Rightarrow\;f'(x)=0[/tex]
Jeg sliter litt med å forstå hvordan man kommer til konklusjonen om den deriverte ut fra et uttrykk som sier noe om den absolutte til definisjonen av den deriverte. Jeg ser jo hvordan det må stemme grafisk, men...
