En arbitrær funksjon på intervall I

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Flaw
Cantor
Cantor
Posts: 128
Joined: 29/03-2014 19:42

12047713_892868400793416_1099160548_n.jpg
12047713_892868400793416_1099160548_n.jpg (21.73 KiB) Viewed 2763 times
Hei! Har fått denne oppgaven. Hintet er jo at man skal benytte definisjonen av den deriverte, men så langt har jeg ikke kommet lengre enn å se at høyresiden kan bli 2K(a-b), som jo er en konstant. Her tenker jeg skviseteoremet, men jeg aner ikke hva jeg skal gjøre med venstresiden. Hvordan bruke definisjonen av den deriverte på dette?
stensrud
Descartes
Descartes
Posts: 438
Joined: 08/11-2014 21:13
Location: Cambridge

Er ikke helt stø i dette selv, men kan det tenkes at noe sånt funker?

Vi er altså gitt $\mid f(a)-f(b) \mid\leq K\mid a-b\mid^2$. Definisjonen av den deriverte er $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Men for funksjonen vår i $I$ er $f(x+h)-f(x)\leq K\mid h\mid^2$, så $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq\lim_{h\rightarrow 0}\frac{K\mid h\mid^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\pm K\mid h\mid=0$. Altså er $f'(x)=0$ i det aktuelle intervallet, og dermed er $f$ konstant.
Flaw
Cantor
Cantor
Posts: 128
Joined: 29/03-2014 19:42

Aaaah! Jeg tror det gir veldig mye mening, ja. Takk! Du setter rett og slett a-b=h, dermed må resten følge, om jeg forstår rett?
stensrud
Descartes
Descartes
Posts: 438
Joined: 08/11-2014 21:13
Location: Cambridge

Jepp, $a\rightarrow x+h$ og $b\rightarrow x$, slik at $a-b=h$.
Flaw
Cantor
Cantor
Posts: 128
Joined: 29/03-2014 19:42

stensrud wrote:Jepp, $a\rightarrow x+h$ og $b\rightarrow x$, slik at $a-b=h$.
Er det dog riktig at vi bare kan ta bort absolutt-tegnet på venstresiden?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Flaw wrote:
stensrud wrote:Jepp, $a\rightarrow x+h$ og $b\rightarrow x$, slik at $a-b=h$.
Er det dog riktig at vi bare kan ta bort absolutt-tegnet på venstresiden?
Nei, ikke helt. Absoluttverdien er viktig for konklusjonen. Vi har at

$|f'(x)|=|\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}|=\lim_{h\to 0}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{|h|}\leq \lim_{h\to 0}K|h| = 0$, dermed er $f'(x)=0$. Den andre overgangen er riktig fordi funksjonen g(x)=|x| er kontinuerlig.
Flaw
Cantor
Cantor
Posts: 128
Joined: 29/03-2014 19:42

Men har vi ikke da egentlig kun vist at [tex]|f'(x)|\leq 0\;\Leftrightarrow -f'(x)\leq 0 \leq f'(x)[/tex]?

Hva står da i veien for at den deriverte da f.eks. er 2 istedenfor 0? Ulikheten er jo fremdeles overholdt?

Eller blir det slik at, siden vi har absolutt-tegn på begge sider av ulikheten, så følger det:

[tex]|f'(x)|\leq K\lim_{h\to 0}|h|\;\Leftrightarrow\;K\lim_{h\to 0}-h\leq -f'(x)\leq K\lim_{h\to 0}h\;\vee\;K\lim_{h\to 0}-h\leq f(x)\leq K\lim_{h\to 0}h\;\Rightarrow\;f'(x)=0[/tex]

Jeg sliter litt med å forstå hvordan man kommer til konklusjonen om den deriverte ut fra et uttrykk som sier noe om den absolutte til definisjonen av den deriverte. Jeg ser jo hvordan det må stemme grafisk, men... :P
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Flaw wrote:Men har vi ikke da egentlig kun vist at [tex]|f'(x)|\leq 0\;\Leftrightarrow -f'(x)\leq 0 \leq f'(x)[/tex]?
Nei, generelt har vi at for $a\geq 0$ så er $|x|\leq a\Leftrightarrow -a\leq x\leq a$. Så hvis a=0 må da x=0.
Flaw
Cantor
Cantor
Posts: 128
Joined: 29/03-2014 19:42

Oia, selvfølgelig!

Takk for hjelpen :)
Post Reply