Hei, jeg driver på med følgende oppgave som jeg trenger dra hjelp med:
La [tex]f(x)=sin(x)[/tex]
a) Finn Taylorpolynomet til f rundt 0 av orden 1, 3 og 5.
Det gjorde jeg, og jeg fikk:
[tex]P_{5}(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}[/tex]
Jeg tok for den femte direkte, for å gjøre det litt raskere her.
b) Hvor stor må n være for at vi med sikkerhet kan si at
[tex]|sin(\pi )-P_{n}(x)\leq \frac{1}{1000}[/tex]
Jeg kom ikke langt, men jeg gjorde følgende:
Vet at :
[tex]f(x)=P_{n}(x)-E_{n}(x)[/tex]
så da har vi at:
[tex]E_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)[/tex]
[tex]|E_{n}(x)|=|f(x)-P_{n}(x)|\leq \frac{1}{1000}[/tex]
[tex]|f(x)-P_{n}(x)|\leq \frac{1}{1000}[/tex]
[tex]|sin(x)-P_{n}(x)|\leq \frac{1}{1000}[/tex]
Her stoppet det. Vi har jobbet litt med slike "error-oppgaver" denne uken, gått litt gjennom det osv. og jeg ønsker å forstå det 100 % fullt for hvordan man skal løse slike problemer. Tusen takk!
Taylors formel og "usikkerhet"
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ikke kommet lenger, men vil legge til at jeg vet at:
[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]
[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]
Tror det blir litt vannskalig å regne ut ligningen:
[tex]\frac{\pi ^{2x-1}}{(2x-1)!}\leqslant \frac{1}{1000}[/tex]
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017
Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.
[tex]\frac{\pi ^{2x-1}}{(2x-1)!}\leqslant \frac{1}{1000}[/tex]
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017
Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.
Jeg ser at jeg glemte å ta med "PI" i Pn(x) i ulikheten i oppgaveteksten, altså, det skal stå at:Andert skrev:Tror det blir litt vannskalig å regne ut ligningen:
[tex]\frac{\pi ^{2x-1}}{(2x-1)!}\leqslant \frac{1}{1000}[/tex]
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017
Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.
[tex]|sin(\pi )-P_{n}(\pi )|\leq \frac{1}{1000}[/tex]
Aha, jeg ser hva du har gjort.
Men jeg tolket det slik at man skal knytte det til [tex]E_{n}(x)[/tex] for å finne feilen, og finne en s i Lagrange's rest/Taylors formel?
-
- Galois
- Innlegg: 598
- Registrert: 09/10-2012 18:26
Jeg skulle akkurat til å spørre om assistanse på denne, men jeg slenger meg på her også.
Er det noen konkret måte å vise det på, elelr er det som du har tenkt, rett og slett prøve seg fram med ulike n?Andert skrev:Tror det blir litt vannskalig å regne ut ligningen:
[tex]\frac{\pi ^{2x-1}}{(2x-1)!}\leqslant \frac{1}{1000}[/tex]
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017
Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Aller enkleste er nok å bare sette inn verdier ja. Dersom en sitter på en Casio eller Citizen kalkulator
har disse en tabell-funksjon som gjør det utrolig enkelt å regne ut brøken for mange verdier av $n$.
https://wiki.math.ntnu.no/sr270x
har disse en tabell-funksjon som gjør det utrolig enkelt å regne ut brøken for mange verdier av $n$.
https://wiki.math.ntnu.no/sr270x
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Da regner jeg med at jeg skal bruke sammenhengen?Nebuchadnezzar skrev:Aller enkleste er nok å bare sette inn verdier ja. Dersom en sitter på en Casio eller Citizen kalkulator
har disse en tabell-funksjon som gjør det utrolig enkelt å regne ut brøken for mange verdier av $n$.
https://wiki.math.ntnu.no/sr270x
[tex]\frac{\pi ^{2n-1}}{(2n-1)!}\leq \frac{1}{1000}[/tex]
Og sette opp en tabell ut ifra dette?
Takk btw.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Stemmer det. La for eksempel $n = X$, er en rød knapp oppe for å skifte til symboler på min kalkulator.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Hei, igjen! Jeg prøvde det ut på Casio, og jeg tror kanskje jeg har fått det til??
Hva jeg gjorde:
1. Gikk inn på "Mode"
2. Trykket 3: Table
3: Skrev: [tex]f(x)=\frac{\pi ^{2n-1}}{(2n-1)!}-\frac{1}{1000}[/tex]
4: Jeg tror at jeg valgte: Start = 1, End = 20 og step = 1.
I så fall, så sammenliknet jeg tabellen med Andert sin ovenfor og da fikk jeg følgende:
x =1 igr f(x) = 3.1405
x = 2 gir f(x) = 5.1667
x = 3 gir f(x) = 2.5491
x = 4 gir f(x) = 0.5982
x = 5 gir f(x) = 0.0811
x = 6 gir f(x) = 6.3*10^(-3)
x = 7 gir f(x) = -5*10^(-4)
osv. for de resterende. Betyr dette da at n = 7 er løsningen?
Men det jeg ikke skjønner, er at det noen jeg kjenner som har løst denne oppgaven på følgende måte, og som avviker fra dette her: Det er to skjermbilder av løsningen hans
https://gyazo.com/8282aa73e1fc0d55ce43509b694ef423
https://gyazo.com/55000d250023baee15536ea072d55743
Og han har på en eller annen måte kommet fram til at n = 11 er løsningen?
Hva jeg gjorde:
1. Gikk inn på "Mode"
2. Trykket 3: Table
3: Skrev: [tex]f(x)=\frac{\pi ^{2n-1}}{(2n-1)!}-\frac{1}{1000}[/tex]
4: Jeg tror at jeg valgte: Start = 1, End = 20 og step = 1.
I så fall, så sammenliknet jeg tabellen med Andert sin ovenfor og da fikk jeg følgende:
x =1 igr f(x) = 3.1405
x = 2 gir f(x) = 5.1667
x = 3 gir f(x) = 2.5491
x = 4 gir f(x) = 0.5982
x = 5 gir f(x) = 0.0811
x = 6 gir f(x) = 6.3*10^(-3)
x = 7 gir f(x) = -5*10^(-4)
osv. for de resterende. Betyr dette da at n = 7 er løsningen?
Men det jeg ikke skjønner, er at det noen jeg kjenner som har løst denne oppgaven på følgende måte, og som avviker fra dette her: Det er to skjermbilder av løsningen hans
https://gyazo.com/8282aa73e1fc0d55ce43509b694ef423
https://gyazo.com/55000d250023baee15536ea072d55743
Og han har på en eller annen måte kommet fram til at n = 11 er løsningen?
Nå ble jeg faktisk usikker selv.Charlie skrev:Hvordan får du [tex]\frac{\pi ^{2x-1}}{(2x-1)!}\leqslant \frac{1}{1000}[/tex]???
Btw, hva sier dere om det jeg gjorde med tabellen på Casio, sammenliknet med den løsningen fra en anne jeg postet?
Tusen takk.
Tusen takk.