Taylors formel og "usikkerhet"

[Guest]

Hei, jeg driver på med følgende oppgave som jeg trenger dra hjelp med:

La $f(x)=sin(x)$

a) Finn Taylorpolynomet til f rundt 0 av orden 1, 3 og 5.

Det gjorde jeg, og jeg fikk:

$P_5(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

Jeg tok for den femte direkte, for å gjøre det litt raskere her.

b) Hvor stor må n være for at vi med sikkerhet kan si at

$|sin(\pi )-P_n(x)\le \frac{1}{1000}$

Jeg kom ikke langt, men jeg gjorde følgende:

Vet at :

$f(x)=P_n(x)-E_n(x)$

så da har vi at:

$E_n(x)=f(x)-P_n(x)$

$|E_n(x)|=|f(x)-P_n(x)|\le \frac{1}{1000}$

$|f(x)-P_n(x)|\le \frac{1}{1000}$

$|sin(x)-P_n(x)|\le \frac{1}{1000}$

Her stoppet det. Vi har jobbet litt med slike "error-oppgaver" denne uken, gått litt gjennom det osv. og jeg ønsker å forstå det 100 % fullt for hvordan man skal løse slike problemer. Tusen takk!

[Guest]

Ikke kommet lenger, men vil legge til at jeg vet at:

$E_n(x)=\frac{f^{n+1}(s)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

[Guest]

Anyone?

[Andert]

Tror det blir litt vannskalig å regne ut ligningen:
$\frac{{\pi }^{2x-1}}{(2x-1)!}⩽\frac{1}{1000}$
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017

Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.

[Guest]

Tror det blir litt vannskalig å regne ut ligningen:
$\frac{{\pi }^{2x-1}}{(2x-1)!}⩽\frac{1}{1000}$
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017

Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.

Jeg ser at jeg glemte å ta med "PI" i Pn(x) i ulikheten i oppgaveteksten, altså, det skal stå at:

$|sin(\pi )-P_n(\pi )|\le \frac{1}{1000}$
Aha, jeg ser hva du har gjort.
Men jeg tolket det slik at man skal knytte det til $E_n(x)$ for å finne feilen, og finne en s i Lagrange's rest/Taylors formel?

[ThomasSkas]

Jeg skulle akkurat til å spørre om assistanse på denne, men jeg slenger meg på her også.

[Guest]

Tror det blir litt vannskalig å regne ut ligningen:
$\frac{{\pi }^{2x-1}}{(2x-1)!}⩽\frac{1}{1000}$
Derfor regnet jeg bare leddene for seg selv i Excel
n =(PI()^(2*A2-1)/FACT(2*A2-1))
1 3.1415926536
2 5.16771278
3 2.5501640399
4 0.5992645293
5 0.0821458866
6 0.0073704309
7 0.0004663028
8 2.19153534478302E-005
9 7.95205400147551E-007
10 2.29484289972699E-008
11 5.39266466260813E-010
12 1.05184717169321E-011
13 1.73021924583611E-013
14 2.43256117999339E-015
15 2.95670154285491E-017

Ser her at i det 7. leddet er verdien mindre enn 1/1000.

Er det noen konkret måte å vise det på, elelr er det som du har tenkt, rett og slett prøve seg fram med ulike n?

[Nebuchadnezzar]

Aller enkleste er nok å bare sette inn verdier ja. Dersom en sitter på en Casio eller Citizen kalkulator
har disse en tabell-funksjon som gjør det utrolig enkelt å regne ut brøken for mange verdier av $n$.

https://wiki.math.ntnu.no/sr270x

[Guest]

Aller enkleste er nok å bare sette inn verdier ja. Dersom en sitter på en Casio eller Citizen kalkulator
har disse en tabell-funksjon som gjør det utrolig enkelt å regne ut brøken for mange verdier av $n$.

https://wiki.math.ntnu.no/sr270x

Da regner jeg med at jeg skal bruke sammenhengen?

$\frac{{\pi }^{2n-1}}{(2n-1)!}\le \frac{1}{1000}$

Og sette opp en tabell ut ifra dette?

Takk btw.

[Nebuchadnezzar]

Stemmer det. La for eksempel $n=X$, er en rød knapp oppe for å skifte til symboler på min kalkulator.

[Guest]

Hei, igjen! Jeg prøvde det ut på Casio, og jeg tror kanskje jeg har fått det til??

Hva jeg gjorde:

1. Gikk inn på "Mode"

2. Trykket 3: Table

3: Skrev: $f(x)=\frac{{\pi }^{2n-1}}{(2n-1)!}-\frac{1}{1000}$

4: Jeg tror at jeg valgte: Start = 1, End = 20 og step = 1.

I så fall, så sammenliknet jeg tabellen med Andert sin ovenfor og da fikk jeg følgende:

x =1 igr f(x) = 3.1405

x = 2 gir f(x) = 5.1667

x = 3 gir f(x) = 2.5491

x = 4 gir f(x) = 0.5982

x = 5 gir f(x) = 0.0811

x = 6 gir f(x) = 6.3*10^(-3)

x = 7 gir f(x) = -5*10^(-4)

osv. for de resterende. Betyr dette da at n = 7 er løsningen?

Men det jeg ikke skjønner, er at det noen jeg kjenner som har løst denne oppgaven på følgende måte, og som avviker fra dette her: Det er to skjermbilder av løsningen hans

https://gyazo.com/8282aa73e1fc0d55ce43509b694ef423

https://gyazo.com/55000d250023baee15536ea072d55743

Og han har på en eller annen måte kommet fram til at n = 11 er løsningen?

[Charlie]

Hvordan får du $\frac{{\pi }^{2x-1}}{(2x-1)!}⩽\frac{1}{1000}$???

[Guest]

Hvordan får du $\frac{{\pi }^{2x-1}}{(2x-1)!}⩽\frac{1}{1000}$???

Nå ble jeg faktisk usikker selv.

[Guest]

Btw, hva sier dere om det jeg gjorde med tabellen på Casio, sammenliknet med den løsningen fra en anne jeg postet?

Tusen takk.

[Guest]

Anyone?