Konvergens

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Guest

Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer, og forklar hvorfor.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctan(n)}{1+n^2}[/tex]

Hei,
jeg tror man skal gå i gang med en sammenlikningstest, men hvor starter man egentlig?
Skjønner at arctan har bruddpunkt for pi/2.

Og at hvis vi har to rekker [tex]a_{n}[/tex] og [tex]b_{n}[/tex] gjelder:

I: Hvis [tex]\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}[/tex] konvergerer, så gjør [tex]\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}[/tex] det også.

II: Hvis [tex]\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}[/tex] divergerer, så gjør [tex]\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}[/tex] det også.

Tusen takk for hjelp!

God kveld.
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 150
Joined: 12/06-2013 12:09
Location: Trondheim

Hint: Ettersom $\arctan{n}$ vokser monotont og er oppad begrenset av $\pi/2$: $$\frac{\arctan{n}}{1+n^2} < \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{1+n^2}$$
Du bør ta en ekstra titt på sammenlikningstesten, det du har skrevet stemmer ikke helt
Guest

MatIsa wrote:Hint: Ettersom $\arctan{n}$ vokser monotont og er oppad begrenset av $\pi/2$: $$\frac{\arctan{n}}{1+n^2} < \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{1+n^2}$$
Du bør ta en ekstra titt på sammenlikningstesten, det du har skrevet stemmer ikke helt
Ok, vel, jeg vet at arctan(n) er begrenset av pi/2, men slike oppgaver er så vriene, for jeg vet ikke helt hva man skal gjøre, eller hvordan man skal resonnere ut ifra de konvergenstestene man har for positive rekker.

Men prøvde:

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{arctan(n)}{1+n^2}=\frac{\pi }{\frac{2}{n^2}}\rightarrow 0[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctan(n)}{1+n^2}<\frac{\pi }{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\rightarrow konvergerer[/tex]
Post Reply