Konvergens

[Guest]

Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer, og forklar hvorfor.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctan(n)}{1+n^2}[/tex]

Hei,
jeg tror man skal gå i gang med en sammenlikningstest, men hvor starter man egentlig?
Skjønner at arctan har bruddpunkt for pi/2.

Og at hvis vi har to rekker [tex]a_{n}[/tex] og [tex]b_{n}[/tex] gjelder:

I: Hvis [tex]\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}[/tex] konvergerer, så gjør [tex]\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}[/tex] det også.

II: Hvis [tex]\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}[/tex] divergerer, så gjør [tex]\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}[/tex] det også.

Tusen takk for hjelp!

God kveld.

[Guest]

Noen?

[MatIsa]

Hint: Ettersom $\arctan{n}$ vokser monotont og er oppad begrenset av $\pi/2$: $$\frac{\arctan{n}}{1+n^2} < \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{1+n^2}$$
Du bør ta en ekstra titt på sammenlikningstesten, det du har skrevet stemmer ikke helt

[Guest]

Hint: Ettersom $\arctan{n}$ vokser monotont og er oppad begrenset av $\pi/2$: $$\frac{\arctan{n}}{1+n^2} < \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{1+n^2}$$
Du bør ta en ekstra titt på sammenlikningstesten, det du har skrevet stemmer ikke helt

Ok, vel, jeg vet at arctan(n) er begrenset av pi/2, men slike oppgaver er så vriene, for jeg vet ikke helt hva man skal gjøre, eller hvordan man skal resonnere ut ifra de konvergenstestene man har for positive rekker.

Men prøvde:

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{arctan(n)}{1+n^2}=\frac{\pi }{\frac{2}{n^2}}\rightarrow 0[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctan(n)}{1+n^2}<\frac{\pi }{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\rightarrow konvergerer[/tex]