Funksjon Topp- og bunnpunkt

[Gjest25]

Kode: Velg alt

Gitt funksjonen [tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} 

a) Vis at f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}

f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}  = \frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}*2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} = 

f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}



b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.

Jeg får nullpunkter x=0

Fasit: (det jeg får på kalkulator) 
Toppunkt:
x=0.5773502
y=0.6495190

Bunnpunkt:
x=-0.5773502
y=-0.6495190




Finn f''(x) og bestem den verdien av x der f(x) vokser fortest[/tex]

[Gjest]

Gitt funksjonen [tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}[/tex]

a) Vis at

[tex]f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}*2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex] = [tex]\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]= [tex]f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]



b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.

Jeg får nullpunkter x=0

Fasit: (det jeg får på kalkulator)
Toppunkt:
x=0.5773502
y=0.6495190

Bunnpunkt:
x=-0.5773502
y=-0.6495190




Finn f''(x) og bestem den verdien av x der f(x) vokser fortest

[viking]

Du må ha gjort noe galt med kalkulatoren.

x=0 er det eneste ekstremalpunktet, og det er et bunnpunkt. Rett fra oppgaven fordi f'(0)=0, f(0)=0, og f(x)>=0

Bruk kjerneregelen med [tex]u=x^2+1[/tex]. Gir enkel derivasjon.


f vokser fortest der f''=0.

[tex]f''(x)=\frac{2-6x^2}{(x^2+1)^3}[/tex]

Ser at x vokser raskest for [tex]x=1/\sqrt{3}[/tex]. Symmetri gir den samme negative løsning.

Sjekk dette selv da jeg ikke har gjort det, men svaret ser fornuftig ut.

[Gjest]

Bruker du fortegnslinje?

[Gjest]

[tex]f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2(x^{2}+1)^{2}-2x(4x(x^{2}+1)} {(x^{2}+1)^{4}}[/tex]



Jeg sitter fast her, hva skal jeg gjøre videre?

[Nebuchadnezzar]

Begge leddene i teller inneholder $(1+x^2)$ så denne kan du trekke ut og forkorte. Da står det bare igjen å forenkle / faktorisere teller.

[Gjest]

Flott, da fikk jeg den til!

Tusen takk for hjelp Nebuchadnezzar og viking