Jeg har fått oppgitt følgende funksjon S(x):
$ S(x) = 10 000 x e^x $
Så skal jeg finne når den er lik 2000. Jeg har fått forkortet den til følgende form, men er usikker på hvordan jeg går videre:
$ ln(x) - x = ln (\frac{1}{5}) $
Noen tips?
Logaritmelikning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hei!
Jeg har fått oppgitt følgende funksjon S(x):
$ S(x) = 10 000 x e^x $
Så skal jeg finne når den er lik 2000. Jeg har fått forkortet den til følgende form, men er usikker på hvordan jeg går videre:
$ ln(x) - x = ln (\frac{1}{5}) $
Noen tips?
Jeg har fått oppgitt følgende funksjon S(x):
$ S(x) = 10 000 x e^x $
Så skal jeg finne når den er lik 2000. Jeg har fått forkortet den til følgende form, men er usikker på hvordan jeg går videre:
$ ln(x) - x = ln (\frac{1}{5}) $
Noen tips?
Det er nok neppe meninga du skal finne en presis løsning her. I alle fall ikke med VGS-pensum.
Hvis det er meninga du skal gjøre det for hånd, så er numeriske metoder som Newtons Metode mer omgjengelig.
Hvis det er meninga du skal gjøre det for hånd, så er numeriske metoder som Newtons Metode mer omgjengelig.
Takk for svar!
Jeg går ikke vanlig VGS, men realfagskurs (forkurs for ingeniørutdanningen), selv om pensum burde være tilsvarende. De trenger nok ikke være nøyaktige løsninger, men i fasit er svarene oppgitt med tilnærmet tallverdi med to desimaler. Newtons metode har ikke blitt benyttet i undervisningen eller gjennomgått i pensum. Kan for ordens skyld legge ut alle mellomregningene mine i tilfelle det er et sted jeg skulle gjort noe annerledes:
[tex]S(x)=2000\Rightarrow 10 000 x \times e^{-x} =2000[/tex]
[tex]\Rightarrow x \times e^{-x} = \frac{2000}{10000}=\frac{1}{5} \Rightarrow ln{(x \times e^{-x})} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]
[tex]ln{(x)}-x \times ln{(e)} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]
[tex]ln{(x)}-x= ln{(\frac{1}{5})}[/tex]
Jeg går ikke vanlig VGS, men realfagskurs (forkurs for ingeniørutdanningen), selv om pensum burde være tilsvarende. De trenger nok ikke være nøyaktige løsninger, men i fasit er svarene oppgitt med tilnærmet tallverdi med to desimaler. Newtons metode har ikke blitt benyttet i undervisningen eller gjennomgått i pensum. Kan for ordens skyld legge ut alle mellomregningene mine i tilfelle det er et sted jeg skulle gjort noe annerledes:
[tex]S(x)=2000\Rightarrow 10 000 x \times e^{-x} =2000[/tex]
[tex]\Rightarrow x \times e^{-x} = \frac{2000}{10000}=\frac{1}{5} \Rightarrow ln{(x \times e^{-x})} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]
[tex]ln{(x)}-x \times ln{(e)} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]
[tex]ln{(x)}-x= ln{(\frac{1}{5})}[/tex]
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Den nøyaktige måten er å bruke Lambert-W funksjonen (står detaljert på wikipedia) I utgangspunktet så er denne funksjonen definert som løsningen av likningen $Y = X e^X$. Så $x = \text{LambertW}( Y )$. Fleste tyngre regneverktøy har i likhet med logaritmen denne funksjonen innebygget.
Alternativt kan du definere
$ \hspace{1cm}
f(x) = 2000 - 10000 x e^x
$
Og deretter bruke newtons-tilnærmingsmetode
$ \hspace{1cm}
x_{n+1} = x_{n} - \frac{ f(x_n) }{f'(x_n)}
$
Konvergerer raskt for nesten alle fornuftige startverdier. Bijeksjonsmetoden fungerer og ypperlig her, med startverdier $a = 0$ og $b = 1$.
Fikspunkt iterasjon fungerer og. Anta du har en likning $y(x) = a$, hvor a er en konstant eller en funksjon. Målet er da å skrive om denne likningen
til $x = g(x)$. Dersom du kan det, kan du skrive inn et tall på kalkulatoren. Også deretter skrive $g(\text{ans})$ og hamre løs på = knappen.
$10000 xe^x = 2000 \ \Rightarrow \ x = \frac{2000}{10000 e^x}$.
Så $g(x) = \frac{1}{5}e^{-x}$ Ved å skrive
Også
Og hamre løs på = knappen vil du komme frem til riktig svar raskt.
Alternativt kan du definere
$ \hspace{1cm}
f(x) = 2000 - 10000 x e^x
$
Og deretter bruke newtons-tilnærmingsmetode
$ \hspace{1cm}
x_{n+1} = x_{n} - \frac{ f(x_n) }{f'(x_n)}
$
Konvergerer raskt for nesten alle fornuftige startverdier. Bijeksjonsmetoden fungerer og ypperlig her, med startverdier $a = 0$ og $b = 1$.
Fikspunkt iterasjon fungerer og. Anta du har en likning $y(x) = a$, hvor a er en konstant eller en funksjon. Målet er da å skrive om denne likningen
til $x = g(x)$. Dersom du kan det, kan du skrive inn et tall på kalkulatoren. Også deretter skrive $g(\text{ans})$ og hamre løs på = knappen.
$10000 xe^x = 2000 \ \Rightarrow \ x = \frac{2000}{10000 e^x}$.
Så $g(x) = \frac{1}{5}e^{-x}$ Ved å skrive
Kode: Velg alt
0Kode: Velg alt
(1/5) *exp(-ans)"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
Dolandyret
- Lagrange
- Innlegg: 1264
- Registrert: 04/10-2015 22:21
Denne kan nok ikke løses "for hånd" med det en lærer på forkurs, så jeg vil tro at geogebra eller cas kan være til god hjelp her.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Så søtt at VGS elever tror de vil få bruke geogebra eller cas på eksamen på universitet / forkurs 
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
Dolandyret
- Lagrange
- Innlegg: 1264
- Registrert: 04/10-2015 22:21
Har aldri sagt det, men når oppgaven ligger utenfor VGS pensum når det kommer til å løses ved regning, så må vi ta i bruk de hjelpemidlene vi har lov til å bruke på våres nivå til å løse den.Nebuchadnezzar skrev:Så søtt at VGS elever tror de vil få bruke geogebra eller cas på eksamen på universitet / forkurs
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."