Konvergensområde, løse ulikhet

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Stimorolextra

Det er noe jeg sliter veldig med...
Hvordan skal jeg løse denne ulikheten: -1<1-2x^2<1 ???
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Posts: 1264
Joined: 04/10-2015 22:21

Stimorolextra wrote:Det er noe jeg sliter veldig med...
Hvordan skal jeg løse denne ulikheten: -1<1-2x^2<1 ???
Du kan jo eventuelt dele den opp og løse hver del for seg selv.

[tex]-1<1-2x^2[/tex]
[tex]-2<-2x^2[/tex]
[tex]-1<-x^2[/tex]
[tex]1>x^2[/tex]
[tex]1>x[/tex]

[tex]1-2x^2<1[/tex]
[tex]-2x^2<0[/tex]
[tex]x^2>0[/tex]
[tex]x>0[/tex]

Da har vi at: [tex]1>x>0[/tex]
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
stimorolextra

Dolandyret wrote:
Stimorolextra wrote:Det er noe jeg sliter veldig med...
Hvordan skal jeg løse denne ulikheten: -1<1-2x^2<1 ???
Du kan jo eventuelt dele den opp og løse hver del for seg selv.

[tex]-1<1-2x^2[/tex]
[tex]-2<-2x^2[/tex]
[tex]-1<-x^2[/tex]
[tex]1>x^2[/tex]
[tex]1>x[/tex]

[tex]1-2x^2<1[/tex]
[tex]-2x^2<0[/tex]
[tex]x^2>0[/tex]
[tex]x>0[/tex]

Da har vi at: [tex]1>x>0[/tex]


Men i følge fasiten, skal svaret være -1<x<0 eller 0<x<1 ?
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Dolandyret wrote:
Stimorolextra wrote:Det er noe jeg sliter veldig med...
Hvordan skal jeg løse denne ulikheten: -1<1-2x^2<1 ???
Du kan jo eventuelt dele den opp og løse hver del for seg selv.

[tex]-1<1-2x^2[/tex]
[tex]-2<-2x^2[/tex]
[tex]-1<-x^2[/tex]
[tex]1>x^2[/tex]
[tex]1>x[/tex]

[tex]1-2x^2<1[/tex]
[tex]-2x^2<0[/tex]
[tex]x^2>0[/tex]
[tex]x>0[/tex]

Da har vi at: [tex]1>x>0[/tex]
Et par feil her.

$x^2 > 0$

$|x| > 0$

$x>0 \vee x < 0$

Og tilsvarende for $x^2 < 1$

$|x| < 1$

Da får vi fasitsvaret.
Image
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Posts: 1264
Joined: 04/10-2015 22:21

Takk, skulle akkurat til å rette på det.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
stimorolextra

Aleks855 wrote:
Dolandyret wrote:
Stimorolextra wrote:Det er noe jeg sliter veldig med...
Hvordan skal jeg løse denne ulikheten: -1<1-2x^2<1 ???
Du kan jo eventuelt dele den opp og løse hver del for seg selv.

[tex]-1<1-2x^2[/tex]
[tex]-2<-2x^2[/tex]
[tex]-1<-x^2[/tex]
[tex]1>x^2[/tex]
[tex]1>x[/tex]

[tex]1-2x^2<1[/tex]
[tex]-2x^2<0[/tex]
[tex]x^2>0[/tex]
[tex]x>0[/tex]

Da har vi at: [tex]1>x>0[/tex]
Et par feil her.

$x^2 > 0$

$|x| > 0$

$x>0 \vee x < 0$

Og tilsvarende for $x^2 < 1$

$|x| < 1$

Da får vi fasitsvaret.


Jeg skjønte ikke helt :/
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Vi får $|x| > 0$ og $|x|<1$ som er det samme som å si at $-1 < x 0$ eller $0<x<1$.
Image
sbra
Cantor
Cantor
Posts: 115
Joined: 19/05-2014 13:25

Vi skal løse [tex]-1<1-2x^2<1[/tex]

Vi kan fint addere og subtrahere tall fra alle leddene uten at det endrer ulikheten. La oss først derfor fjerne -1 fra leddet med x i.
Subtraher 1 fra alle leddene og man får:

[tex]-2 < -2x^2 < 0[/tex]

Deretter ønsker vi å fjerne minuset foran x'en. Da kan vi gange alle leddene med -1. OBS! Når man ganger med minus 1 så må du endre retningen på ulikheten. Vi får:

[tex]2 > 2x^2 > 0[/tex]

Vi kan deretter dele på 2:
[tex]1 > x^2 > 0[/tex]

Hvike verdier av x gir [tex]x^2[/tex] mellom 0 og 1?

Vi vet at [tex]x^2[/tex] alltid er et positivt tall, så det kan ikke være mindre enn 0, uansett hva x er (så fremt vi ser bort fra komplekse tall). Fra ulikheten ser vi også at x ikke kan være 0. Alle verdier av [tex]|x| \geq 1[/tex] gir at [tex]x^2 \geq 1[/tex], så svaret blir at [tex]|x|< 1[/tex], unntatt x=0.

Eller om du vil:
[tex]0 < x < 1[/tex]
[tex]-1 < x < 0[/tex]
Post Reply