Kropp, Basis og vektorrom

[Janhaa]

Har nye problemer:
a)
Jeg har vist at[tex]\, f = x^5+6x+3\,[/tex]er et irredusibelt polynom over [tex]\,\mathbb{Q}[/tex]
med Eisenstein for p = 3. Videre skal jeg forklar hvorfor [tex]\,F=\mathbb{Q}[x]/<f>\,[/tex]er en kropp.
Holder det med å si at <f > er ett max ideal, og derfor er F en (kvotientring) kropp?
a) OK?

b)
Til slutt antas: [tex]\,\alpha \in F\,[/tex] er en rot i f , dvs [tex]f (\alpha) = 0.\,[/tex]Bruk [tex]\,\alpha\,[/tex] til å angi en basis for [tex]\,\mathbb{Q}[/tex]-vektorrommet F. Bruk denne basisen til å beregne [tex]\,f : (x − \alpha).[/tex]

Noen forslag til b)

[Gustav]

Har nye problemer:
a)
Jeg har vist at[tex]\, f = x^5+6x+3\,[/tex]er et irredusibelt polynom over [tex]\,\mathbb{Q}[/tex]
med Eisenstein for p = 3. Videre skal jeg forklar hvorfor [tex]\,F=\mathbb{Q}[x]/<f>\,[/tex]er en kropp.
Holder det med å si at <f > er ett max ideal, og derfor er F en (kvotientring) kropp?
a) OK?

b)
Til slutt antas: [tex]\,\alpha \in F\,[/tex] er en rot i f , dvs [tex]f (\alpha) = 0.\,[/tex]Bruk [tex]\,\alpha\,[/tex] til å angi en basis for [tex]\,\mathbb{Q}[/tex]-vektorrommet F. Bruk denne basisen til å beregne [tex]\,f : (x − \alpha).[/tex]

Noen forslag til b)

a) er ok.

b) Fra det første isomorfiteoremet er $Im(\phi)\simeq \mathbb{Q}[x]/ker(\phi)$ der $\phi:\mathbb{Q}[x]\to F$ er evalueringshomomorfien evaluert i $\alpha$, ie. $\phi(q(x))= q(\alpha)$. Da er $ker(\phi)=<f>$ og $Im(\phi)$ generert av $\{1,\alpha, \alpha^2,...,\alpha^4\}$

[Janhaa]

Har nye problemer:
a)Noen forslag til b)

a) er ok.
b) Fra det første isomorfiteoremet er $Im(\phi)\simeq \mathbb{Q}[x]/ker(\phi)$ der $\phi:\mathbb{Q}[x]\to F$ er evalueringshomomorfien evaluert i $\alpha$, ie. $\phi(q(x))= q(\alpha)$. Da er $ker(\phi)=<f>$ og $Im(\phi)$ generert av $\{1,\alpha, \alpha^2,...,\alpha^4\}$

Takker, har trøbbel med å se sammenhenger mellom Q-vektorrom og [tex]\ker\,(\phi)\,\,og\,\,Im(\phi)\,\,etc[/tex]

[Gustav]

På det siste spørsmålet, anta at
$(x^5+6x+3):(x-\alpha)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$, der $a,b,c,d\in F$.

Sammenligning av koeffisienter gir at $a=\alpha$, $b=\alpha^2$, $c=\alpha^3$, $d=6+\alpha^4$, så

$(x^5+6x+3):(x-\alpha)=x^4+\alpha x^3+\alpha^2x^2+\alpha^3x+6+\alpha^4$.

Legg merke til at dette stemmer når vi ganger høyresida med $x-\alpha$ siden $-\alpha^5-6\alpha=3$.

[Janhaa]

På det siste spørsmålet, anta at
$(x^5+6x+3):(x-\alpha)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$, der $a,b,c,d\in F$.
Sammenligning av koeffisienter gir at $a=\alpha$, $b=\alpha^2$, $c=\alpha^3$, $d=6+\alpha^4$, så
$(x^5+6x+3):(x-\alpha)=x^4+\alpha x^3+\alpha^2x^2+\alpha^3x+6+\alpha^4$.
Legg merke til at dette stemmer når vi ganger høyresida med $x-\alpha$ siden $-\alpha^5-6\alpha=3$.

Danke, noch einmal!
Faktisk hadde jeg kladda (på arket) en del av dine bidrag på b).

Men på neste delspm sliter jeg som vanlig igjen:

Anta at vi utvider kroppen [tex]\mathbb{Q}[/tex] med en kvadratrot som ikke ligger i [tex]\mathbb{Q}[/tex] og deretter
utvider den nye kroppen med en kvadratrot som ikke ligger i den, og fortsetter slik
med å legge til kvadratrøtter et endelig antall ganger. Vi kaller kroppen vi har laget på
denne måten for E. Hva kan vi si om graden [E : [tex]\mathbb{Q}[/tex]]? Bruk dette til å vise at [tex]\alpha[/tex] fra (b)
ikke kan gis som et uttrykk bygget opp av de fire elementære regneartene og kvadratrøtter fra rasjonale tall.

[Gustav]

Forslag til løsning: (benytter samme notasjon som i b) )

La $q\in\mathbb{Q}$ være et element slik at $\alpha:=\sqrt{q}\not\in \mathbb{Q}$.

Det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$ blir dermed $f(x)=x^2-q$.

$F:=\mathbb{Q}[x]/<x^2-q>$ er da isomorf med $\{a+b\alpha|a,b\in\mathbb{Q}\}$, så
$[F:\mathbb{Q}]=2$.

Hvis $F_0\subseteq F_1 \subseteq ...\subseteq F_n$ er et endelig tårn av kropper gjelder at $[F_n:F_0]=[F_n:F_{n-1}]\cdot [F_{n-1}:F_{n-2}] \cdots [F_1:F_0]$, så

$[E:\mathbb{Q}]=2^n$ for $n\in\mathbb{N}$.

Fra b) ser vi at $[F:\mathbb{Q}]=5$ som ikke er på formen $2^n$..

[Janhaa]

Forslag til løsning: (benytter samme notasjon som i b) )
La $q\in\mathbb{Q}$ være et element slik at $\alpha:=\sqrt{q}\not\in \mathbb{Q}$.Det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$ blir dermed $f(x)=x^2-q$.
$F:=\mathbb{Q}[x]/<x^2-q>$ er da isomorf med $\{a+b\alpha|a,b\in\mathbb{Q}\}$, så
$[F:\mathbb{Q}]=2$.
Hvis $F_0\subseteq F_1 \subseteq ...\subseteq F_n$ er et endelig tårn av kropper gjelder at $[F_n:F_0]=[F_n:F_{n-1}]\cdot [F_{n-1}:F_{n-2}] \cdots [F_1:F_0]$, så
$[E:\mathbb{Q}]=2^n$ for $n\in\mathbb{N}$.
Fra b) ser vi at $[F:\mathbb{Q}]=5$ som ikke er på formen $2^n$..

Hvordan skal jeg klare dette på eksamen :=)
Akk ja, takker igjen.